Corso di Analisi Matematica

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Gaspare Ruggeri
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1 Corso di Laurea in Ingegneria Edile Corso di LIMITI NOTEVOLI Lucio Demeio Dipartimento di Ingegneria Industriale e delle Scienze Matematiche

3 Numero e ( lim n ( = e lim 1 + n + n) 1 = e + ) Dimostrazione [] [] [] + 1 «[] «1 + 1 [] «[] = «[]+1 = [] «[]+1 «[] [] + 1 «[] [] [] + 1 «e «1 e Per il Teorema del Confronto «e

«1 + 1 [] «[] = 1 + 1 «[]+1 = 1 + 1 [] «[]+1 «[]+1 1 + 1 []

4 Numero e f() = (1 + 1/) (linea continua), a n = (1 + 1/n) n (pallini rossi), numero e (linea blu). 3 2 f

5 Numero e ( lim ( = e lim ) 1 = e ) Dimostrazione Poniamo: y =. Allora: «= 1 1 «y «y y 1 = = y y «y y = = «y e y 1 y 1 E pertanto lim «= lim «y = e y + y 1

Allora: 1 + 1 «= 1 1 «y «y y 1 = = y y «y y = =

6 Numero e ( lim = e lim ± ) (1 + 0 )1/ = e Dimostrazione Basta porre: y = 1/. Allora: «= (1 + y) 1/y E pertanto lim (1 + y)1/y = lim «= e y 0 ± ±

7 Logaritmo naturale lim (1 + ln(1 + ) 0 )1/ = e lim = 1 0 Dimostrazione Basta osservare che ln h (1 + ) 1/i ln(1 + ) = ln(1 + ) e 1 lim = 1 lim = Dimostrazione Basta porre y = e 1 ed usare il limite precedente

ln(1 + ) = ln(1 + ) e 1 lim = 1 lim = 1 0 0

8 Esponenziali lim 0 e 1 a 1 = 1 lim = lna, a > 0 0 Dimostrazione Scriviamo: a = e ln a = e ln a e poniamo: y = lna. Allora a 1 e ln a 1 e y 1 lim = lim ln a = lim ln a = ln a 0 0 ln a y 0 y

9 Potenze e 1 (1 + ) α 1 lim = 1 lim = α, α > Dimostrazione Scriviamo (1 + ) α = e ln(1+)α = e αln(1+) e poniamo y = ln(1 + ), e quindi = e y 1, z = αy. Allora: (1 + ) α 1 lim 0 lim y 0 e αy 1 y e α ln(1+) 1 = lim 0 y e y 1 = lim y 0 e αy 1 y = lim y 0 e αy 1 e y 1 = e z 1 1 = lim α z 0 z

10 In termini di o(1)... lim 0 e 1 = 1 e = 1 + (1 + o(1)), 0 lim 0 (1 + ) 1/ = e ln(1 + ) = (1 + o(1)) a lim 1 0 = lna a = 1 + lna(1 + o(1)) (1+) lim α 1 0 = α (1 + ) α = 1 + α(1 + o(1)) Avevamo già visto che sin = (1 + o(1)), 0 cos = (1 + o(1)), 0 tan = (1 + o(1)), 0

11 Esempi - I e 2sin 3 1 lim cos = 12 Svolgimento 2sin 3 = 6 2 (1 + o(1)); e 2 sin 3 = e 62 (1+o(1)) ; e 2 sin cos = 62 (1+o(1)) (1+o(1)) 12 1 cos = (1 + o(1)) e 62 (1+o(1)) = (1 + o(1))

e 2 sin 3 1 1 cos = 62 (1+o(1)) 1 2 2 (1+o(1)) 12 1

12 Esempi - II lim + (Provare per esercizio gli altri casi) Svolgimento α + 2 ln(1 + e α ) = +, α > 1 α + 2 ln (1 + e α ) = α (1 + α 2 ) ln [e α (1 + e α )] = α (1 + α 2 ) ln (e α ) + ln (1 + e α ) = = α (1 + α 2 ) α + ln (1 + e α ) = α (1 + o(1)) α + (1 + o(1)) = α (1 + o(1)) (α + 1) + o(1) E quindi lim + α + 2 ln(1 + e α ) = lim + α 1 α + 1 = +

13 I simboli di Landau Abbiamo già visto il simbolo o(1), il cui significato è di indicare che una funzione è infinitesima per 0 : f() = o(1) se e solo se lim f() = 0 0 Ci sono complessivamente tre simboli per caratterizzare gli ordinamenti : Il simbolo di o ( o piccolo, di cui O(1) è un caso particolare); il simbolo di O ( o grande ); il simbolo di (equivalenza asintotica);

complessivamente tre simboli per caratterizzare gli ordinamenti : Il simbolo di o ( o

14 I simboli di Landau: o piccolo, o Siano f e g due funzioni, e sia 0 punto di accumulazione per entrambi i dominii. Inoltre, g() 0 definitivamente per 0. Diremo che f() = o(g()), 0, se e solo se f() lim 0 g() = 0 Esempi: 2 = o(1), 0 3 = o( 2 ), 0 3 = o(), 0 2 = o( 3 ), + log a = o(), a > 0, a 1, + = o(a ), a > 1, + Significato: 3 0 più rapidamente di 2 per 0, + più lentamente di a, +, etc.

Diremo che f() = o(g()), 0, se e solo se f() lim 0 g() = 0 Esempi: 2 = o(1), 0 3 = o( 2 ), 0 3 =

15 I simboli di Landau: o piccolo, o 3 = o( 2 ), = o(2 ), (linea blu) 2 (linea rossa) (linea blu) 2 (linea rossa)

16 Algebra di o Per 0 + e + abbiamo: C o( α ) = o( α ), C 0 β o( α ) = o( α+β ) o( β )o( α ) = o( α+β ) o( α ) + o( β ) = o( γ ), γ = min(α, β), 0 + o( α ) + o( β ) = o( γ ), γ = ma(α, β), + Cioè, ad esempio: 3 o( 2 ) = o( 2 ), 0 2 o( 3 ) = o( 5 ), 0 o( 2 )o( 3 ) = o( 5 ), 0 o( 2 ) ± o( 3 ) = o( 2 ), 0 o( 2 ) ± o( 3 ) = o( 3 ), +

17 I simboli di Landau: o grande, O Siano f e g due funzioni, e sia 0 punto di accumulazione per entrambi i dominii. Inoltre, g() 0 definitivamente per 0. Diremo che f() = O(g()), 0, se e solo se f()/g() è definitivamente limitata per 0, o anche se e solo se f() lim = A con A 0 costante reale 0 g() Esempi: sin(2) = O(), 0 1 cos = O( 2 ), 0 e 2 1 = O(), = O( 2 ), + sin /(2) = O(1), 0 Significato: sin(2) 0 con la stessa rapidità di per 0, con la stessa rapidità di 2 per +, sin /(2) definitivamente limitata per 0.

Diremo che f() = O(g()), 0, se e solo se f()/g() è definitivamente limitata per 0, o anche se e solo se f() lim = A con A 0 costante

18 Significato: sin si comporta come per 0, si comporta come 3 2 per +, sin / si comporta come 1 per 0. I simboli di Landau: equivalenza asintotica, Siano f e g due funzioni, e sia 0 punto di accumulazione per entrambi i dominii. Inoltre, g() 0 definitivamente per 0. Diremo che f() g(), 0, se e solo se f() lim 0 g() = 1 Esempi: sin, 0 1 cos 2 /2, 0 e 1, , + sin / 1, 0

I simboli di Landau: equivalenza asintotica, Siano f e g due funzioni, e sia 0 punto di

19 I simboli di Landau: o piccolo, o sin, 0 1 e 1 +, Sin 0 1 e^ 1 1 Π 4 0 Π (linea blu) sin (linea rossa) 1 + (linea blu) e (linea rossa)

20 Alcuni usi dei simboli di Landau Comportamenti sin = + o(), 0 sin, 0 (perchè lim 0 (sin )/ = 1) Infatti: sin = (1 + o(1)) = o(1) = o() cos = o( 2 ), 0 cos , 0 Infatti: (1 cos ) = (1 + o(1)) = = o(1) = o( 2 ) e = o(), 0 e 1 +, 0 Infatti: e 1 = (1 + o(1)) = o(1) = o() ln(1 + ) = + o(), 0 ln(1 + ), 0 Infatti: ln(1 + ) = (1 + o(1)) = o(1) = o() More to come...

2 = 1 2 2 (1 + o(1)) 1 2 2 = = 1 2 2 o(1) = o( 2 ) e = 1 + + o(), 0 e 1 +, 0 Infatti: e 1 = (1 +

21 Ordini di infinitesimo ed infinito Definizioni generali Se f() e g() sono infinitesime per 0 (cioè f() = o(1) e g() = o(1) per 0 ), e f() = o(g()), 0, diremo che f() è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g() per 0 (va a zero più rapidamente di g()); se f() e g() sono infinite per 0 (cioè lim 0 f() = lim 0 g() = ± ), e f() = o(g()), 0, diremo che f() è un infinito di ordine inferiore rispetto a g() per 0 (va all infinito più lentamente di g()).

22 Ordini di infinitesimo ed infinito Funzioni campione Si possono misurare gli ordini di infinitesimo ed infinito? Per farlo, si introduce una famiglia di funzioni campione, scelte a seconda della particolare applicazione che si ha in mente. Infinitesimi Se f() e g() sono infinitesime per 0 (cioè f() = o(1) e g() = o(1) per 0 ), e se esistono α > 0 ed L 0 t.c. f() lim 0 g() α = L diremo che f() è un infinitesimo di ordine α rispetto a g() per 0.

23 Ordini di infinitesimo ed infinito Infiniti Se f() e g() sono infinite per 0 (cioè f() ± e g() ± per 0 ), e se esistono α > 0 ed L 0 t.c. f() lim 0 g() α = L diremo che f() è un infinito di ordine α rispetto a g() per 0.

24 Ordini di infinitesimo ed infinito Esempi Scelta usuale: la famiglia delle potenze di, { n } n=. In tal caso, spesso si dice direttamente infinitesimo di ordine α o infinito di ordine α, senza specificare la famiglia. sin è infinitesimo di ordine 1 rispetto ad per 0; 1 cos è infinitesimo di ordine 2 per 0; 1/ è infinitesimo di ordine 1 per ± ; 1/ è infinito di ordine 1 per 0; 2 è infinito di ordine 2 per ± ; 2 è infinitesimo di ordine 2 per 0; è infinitesimo di ordine 1/2 per 0; è infinito di ordine 1/2 per +. e è infinito di ordine superiore a qualunque potenza di per +, quindi non è confrontabile in quella famiglia.

25 Ordini di infinitesimo ed infinito Ulteriori esempi - I ln( ) è infinitesimo di ordine 2 per 0. Infatti: ln( ) o( 2 ) lim = lim = f (linea blu) ln( ) (linea rossa)

26 Ordini di infinitesimo ed infinito Ulteriori esempi - II e 1/ 1 è infinitesimo di ordine 1 per ±. Infatti: e 1/ 1 e y 1 lim = lim = 1, con y = 1 + 1/ y 0 y 1 f / (linea blu) e 1/ 1 (linea rossa)

27 Ordini di infinitesimo ed infinito Ulteriori esempi - III e 2/ 1 è infinitesimo di ordine 1 per ±. Infatti: e 2/ 1 e y 1 lim = lim 2 = 2, con y = 2 + 1/ y 0 y 1 f / (linea blu) e 2/ 1 (linea rossa)

28 Composizione di funzione e successione Abbiamo già visto che: Sia {a n } n=0 una successione tale che a n 0 e sia f : D R una funzione tale che lim 0 f() = L, con 0 punto di accumulazione per D ed L R. Allora lim n + f(a n ) = L. Teorema ponte Sia {a n } n=0 una qualunque successione tale che a n 0 e sia f : D R una funzione tale che lim 0 f() = L, con 0 punto di accumulazione per D ed L R. Allora lim n + f(a n ) = L. O anche lim 0 f() = L, con 0 punto di accumulazione per D ed L R, lim n + f(a n ) = L {a n } n=0 tale che lim 0 a n = 0.

29 Esempi di non esistenza del limite Non esiste il limite lim sin + Infatti, per la successione a n = nπ si ha: a n + e lim n + f(a n) = 0; per la successione b n = (4n + 1)π/2 invece si ha: b n + e lim n + f(a n) = 1. Non esiste il limite lim 0 sin 1 Infatti, per la successione a n = 1/(nπ) si ha: a n 0 e lim n + f(a n) = 0; per la successione b n = 2/(4n + 1)π) invece si ha: b n 0 e lim n + f(a n) = 1.

30 Esempi di non esistenza del limite f() = sin Sin f() = sin 1/ Sin 1

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