LOGICA E LINGUAGGIO. Caserta, 21 febbraio Dott. Michele Bovenzi

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1 LOGICA E LINGUAGGIO Caserta, 2 febbraio 2 Dott. Michele Bovenzi

2 Una breve introduzione La logica nasce nell antichità come disciplina che studia i principi e le regole del ragionamento, ne valuta la correttezza e ne formalizza l'uso. Nella Grecia classica il più famoso e importante pensatore che si è dedicato alla logica fu Aristotele (384 a.c a.c.). Teoria dei sillogismi regole per cui date alcune premesse è possibile raggiungere una conclusione. Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo Socrate è mortale

3 Una breve introduzione Impostazione aristotelica: la struttura logica di certe deduzioni dipende dalla loro forma a prescindere dal significato specifico delle proprietà che in esse compaiono Ogni bafaresca è una varena Maria è una bafaresca Maria è una varena Le cose salate fanno bere Bere fa passare la sete Le cose salate fanno passare la sete

4 Una breve introduzione A partire dal XVII secolo (Leibniz, ) gli studi sulla logica iniziano a indirizzarsi decisamente verso la nascita della "logica matematica" Tra la fine del XIX e l'inizio del XX secolo la logica diventa lo strumento per lo sviluppo rigoroso e formale della matematica. Contributi fondamentali: De Morgan, Boole, Schröder, Frege, Peano, Hilbert, Russell, Lowenheim, Skolem, Tarski, Church, Gödel, Kleene, Turing

5 Una breve introduzione Logica Matematica (o Simbolica) strumento privilegiato per lo sviluppo della matematica: permette di procedere attraverso regole ben precise che assicurano la correttezza delle dimostrazioni. Metodo matematico: Definizione di un linguaggio formale in cui si distingue tra sintassi e semantica Sintassi: quali sequenze di simboli sono da considerare ben formate Semantica: come interpretare le espressioni simboliche sintatticamente corrette Infine, oltre ai suoi utilizzi linguistici e matematici, la logica presenta anche un aspetto "ludico". Utilizzando la logica è possibile dare vita ad un grandissimo numero di indovinelli e giochi che rendono questa disciplina più facilmente avvicinabile da tutti. E, forse, anche più divertente. (!?)

6 Un po di formalismo Nell'analisi di una qualsiasi teoria matematica, si parte dal concetto di proposizione. Queste sono affermazioni ed in quanto tali alcune devono essere ritenute vere ed altre false. Esempi di proposizioni: 3 x 2 = 6 6 è un numero primo La prima proposizione è vera, mentre la seconda è falsa. Non tutte le frasi sono proposizioni nel senso matematico" del termine, ad esempio le seguenti non sono proposizioni: La persona A e la persona B sono fratelli Domani pioverà

7 Un po di formalismo Dato che alle proposizioni possiamo attribuire un valore di verità (che indicheremo con ) o di falsità (indicato con ), possiamo anche definire alcune operazioni tra le proposizioni. Il risultato di un operazione è una nuova proposizione il cui valore di verità (o falsità) dipende solo dai valori assunti dalle proposizioni date. Una prima semplice operazione e la negazione, indicata col simbolo. Le operazioni tra proposizioni sono in generale riassumibili attraverso quelle che sono chiamate Tavole di Verità. Nel caso della negazione la tavola è la seguente: p p

8 Un po di formalismo Date due proposizioni p e q, si denisce l'operazione di congiunzione, indicata col simbolo, la nuova proposizione p q (si legge p e q) che consiste nell'affermare tanto p quanto q. La tavola di verità per l'operazione risulta: p q p q Si noti che la nuova proposizione è vera solo quando p e q sono entrambe vere, altrimenti la nuova proposizione risulta sempre falsa.

9 Date due proposizioni p e q, si definisce l'operazione di disgiunzione, indicata col simbolo, la nuova proposizione p q (si legge p oppure q) che consiste nell'affermare p oppure q o entrambe. La tavola di verità per l'operazione risulta: Un po di formalismo p q p q Si noti che la nuova proposizione è falsa solo quando sia p che q sono false, altrimenti la nuova proposizione risulta sempre vera.

10 Date due proposizioni p e q qualsiasi, si definisce l'operazione di implicazione, indicata col simbolo, la nuova proposizione p q (si legge p implica q) che consiste nell'affermare che se accade p allora accade q. La tavola di verità per l'operazione risulta: Un po di formalismo La proposizione p viene detta antecedente, mentre la proposizione q viene detta conseguente. p q p q Si noti che l unica implicazione falsa è vero implica falso!

11 Un po di formalismo Date due proposizioni p e q qualsiasi, si definisce l'operazione di coimplicazione, indicata col simbolo, la nuova proposizione p q (si legge p se e solo se q) che consiste nell'affermare che accade p ogni volta che accade q, e viceversa. La tavola di verità per l'operazione risulta: p q p q Si noti che la nuova proposizione è vera quando p e q hanno lo stesso valore di verità.

12 Un po di formalismo Il linguaggio della logica proposizionale comprende: Un insieme di variabili proposizionali, p, p, p 2 usate per indicare le proposizioni L insieme dei connettivi,,,, e le parentesi (, ) Le formule del linguaggio della logica proposizionale sono ottenute collegando con i connettivi un certo numero di variabili proposizionali. Ad esempio, se p, q, r sono variabili proposizionali, la sequenza di simboli è una formula. (p q) (q r)

13 A partire dai valori di verità assegnati alle singole variabili proposizionali, si può ottenere il valore di verità di una qualsiasi formula, costruendo la tavola di verità come visto in precedenza. r q r r p q (p q) (q r) q p Esempio: (p q) (q r) Un po di formalismo

14 Un po di formalismo Formule che hanno la stessa tavola di verità si dicono logicamente equivalenti Questa relazione permette di ottenere diverse proprietà: Commutatività: p q = q p, p q = q p Associatività: (p q) r = p (q r), (p q) r = p (q r) Distributività: r (p q) = (r p) (r q), r (p q) = (r p) (r q) De Morgan: (p q) = p q; (p q) = p q Contrapposizione: p q = q p

15 Un po di svago Cerchiamo di applicare il ragionamento logico alla risoluzione di alcuni problemi Test Orientamento Lauree Scientifiche Prove di ammissione Facoltà di Ingegneria / Architettura Olimpiadi della Matematica / Giochi di Archimede Testi di Matematica Ricreativa

16 Un po di svago Il re di un certo paese mette alla prova il prigioniero. Egli deve scegliere tra due stanze: una contiene una donna, l altra una tigre. L obiettivo è liberare la donna. Sulle porte di ciascuna stanza c è un cartello: Porta In questa stanza c è una donna e nell altra c è una tigre. Porta 2 In una di queste stanze c è una donna e in una di queste stanze c è una tigre. Uno solo dei cartelli dice il vero, l altro è falso. Quale porta è da scegliere? Raymond M. Smullyan Donna o Tigre? e altri indovinelli logici, 992 Soluzione: la porta 2

17 Un po di svago Stesso contesto dell indovinello precedente. Porta Almeno una di queste stanze contiene una donna Porta 2 Nell altra stanza c è una tigre Le informazioni dei cartelli sono entrambe vere o entrambe false Quale porta è da scegliere? Raymond M. Smullyan Donna o Tigre? e altri indovinelli logici, 992 Soluzione: la porta 2

18 Un po di svago Gli abitanti di un isola si dividono in cavalieri, che dicono sempre la verità, e furfanti, che mentono sempre. Un turista incontra due abitanti dell isola, A e B. A afferma: Almeno uno di noi è un furfante Cosa sono A e B? Raymond M. Smullyan Qual è il titolo di questo libro? 978 Soluzione: A è un cavaliere, B è un furfante.

19 Un po di svago Sull isola dei cavalieri e dei furfanti, il turista incontra tre persone (chiamiamole A, B e C). A dice: Siamo tutti furfanti ; B dice: Solo uno di noi è un cavaliere. Cosa sono A, B e C? Raymond M. Smullyan Qual è il titolo di questo libro? 978 Soluzione: A è un furfante, B è un cavaliere, C è un furfante.

20 Un po di svago Il maggiore Tom è atterrato su un pianeta popolato da gatti viola, che dicono sempre la verità, e da gatti neri, che mentono sempre. Nel buio più completo incontra 5 gatti, che si rivolgono a lui nel modo seguente: Primo gatto: Sono viola Secondo gatto: Almeno 3 di noi sono viola Terzo gatto: Il primo gatto è nero Quarto gatto: Almeno 3 di noi sono neri Quinto gatto: Siamo tutti neri. Quanti dei 5 gatti sono viola? Giochi di Archimede - Gara Triennio, 7 novembre 2 Soluzione: Ci sono 2 gatti viola

21 Un po di svago Alessio dice che Beatrice mente; Beatrice dice che Carlo mente; Carlo dice che Alessio e Beatrice mentono. Chi mente e chi dice la verità? A. Alessio mente, Beatrice e Carlo dicono la verità B. Beatrice mente, Alessio e Carlo dicono la verità C. Carlo mente, Beatrice e Alessio dicono la verità D. Alessio e Carlo mentono, Beatrice dice la verità E. Beatrice e Carlo mentono, Alessio dice la verità Progetto Lauree Scientifiche Test iniziale orientamento Soluzione: D

22 Un po di svago Quale delle seguenti proposizioni è la negazione della proposizione n è pari ed è multiplo di 5? A. n è dispari e non è multiplo di 5 B. n è dispari o non è multiplo di 5 C. n non è multiplo di D. n è dispari ed è multiplo di E. n non è multiplo di 5 Progetto Lauree Scientifiche Test iniziale orientamento Soluzione: B

23 Un po di svago Giocando a Risiko Giulio Cesare ha vinto più di suo nipote Augusto, ma non di Napoleone. Alessandro Magno ha vinto meno di Carlo Magno, ma più di Napoleone. Chi ha vinto di meno? A. Carlo Magno B. Alessandro Magno C. Napoleone D. Augusto E. Giulio Cesare Prova di ammissione Facoltà di Ingegneria Sett 28 Soluzione: D

24 Un po di svago Il tenente Piccione, nel corso delle sue indagini su un assassinio, ha appurato questi due fatti:. se X ha accoltellato la vittima, allora X è mancino;. se Y ha accoltellato la vittima, allora Y è l assassino. Quale di queste deduzioni è corretta? A. Il commissario Piccione accerta che il signor Bianchi non è mancino e ne deduce che non è l assassino B. L assassino ha accoltellato la vittima C. Il commissario Piccione accerta che il signor Rossi è mancino e ne deduce che è l assassino D. Il commissario Piccione accerta che il signor Bianchi non è mancino e ne deduce che non ha accoltellato la vittima E. Il commissario Piccione accerta che il signor Rossi è mancino e ne deduce che ha accoltellato la vittima Prova di ammissione Facoltà di Ingegneria Sett 28 Soluzione: D

25 Un po di svago 3. Il Re non rispettò il consiglio del Gran Ciambellano di opporsi alla celebrazione del matrimonio della Principessa dal Collo di Cigno con il rospo che amava, qualora i giovani insistessero per celebrare il rito nella Basilica di Superga. Le principesse, almeno quelle delle favole, seguono la volontà paterna. Che cosa ne deducete? A. La principessa ed il rospo potranno sposarsi, se lo desidereranno, nella Basilica di Superga B. La principessa ed il rospo non si sposeranno C. La principessa ed il rospo potranno sposarsi, ma non nella Basilica di Superga D. I dati del problema non autorizzano a concludere la veridicità di alcuna delle interpretazioni proposte E. La principessa ed il rospo si sposeranno necessariamente nella Basilica di Superga Prova di ammissione Facoltà di Ingegneria Sett 28 Soluzione: A

26 Un po di svago La frase Sul tavolo ci sono due bicchieri implica che sul tavolo A. ci sono due bicchieri e una bottiglia B. non ci sono bottiglie C. ci sono due bicchieri e due tazzine da caffè D. c è un bicchiere E. non ci sono tre bicchieri Prova di ammissione Facoltà di Ingegneria Sett 25 Soluzione: D

27 Un po di svago Il ministro dell economia di Matlandia afferma: Se il bilancio non sarà tagliato, allora nel prossimo anno 26 i prezzi rimarranno stabili se e soltanto se aumenteremo tutte le tasse. Ammessa l assoluta verità di questa affermazione e fondandosi solo su di essa, che cosa può essere accaduto a Matlandia nel 26? A. Il bilancio non fu tagliato; tutte le tasse furono aumentate e i prezzi rimasero stabili B. Il bilancio non fu tagliato; tutte le tasse furono aumentate e i prezzi crebbero C. Il bilancio non fu tagliato; le tasse non furono aumentate e i prezzi rimasero stabili D. Il bilancio non fu tagliato; furono aumentate le tasse solo sugli stipendi degli impiegati dello Stato e i prezzi rimasero stabili E. Il bilancio non fu tagliato, e i prezzi crebbero comunque Prova di ammissione Facoltà di Ingegneria Sett 25 Soluzione: A

28 Un po di svago Una famosa congettura afferma che i numeri primi q tali che q + 2 è un numero primo sono infiniti. Confutare questa affermazione equivale a provare che: A. per ogni intero positivo n e per ogni numero primo q con q > n il numero q + 2 non è primo B. esistono un intero positivo n e un numero primo q con q > n tali che il numero q + 2 non è primo C. per ogni intero positivo n esiste un numero primo q con q > n tale che il numero q + 2 non è primo D. esiste un intero positivo n tale che, qualunque sia il numero primo q con q > n, il numero q + 2 non è primo E. esiste un intero positivo n tale che, per ogni numero (primo e non primo) m con m > n, il numero m + 2 non è primo Prova di ammissione Facoltà di Ingegneria Sett 25 Soluzione: D

29 Un po di svago Di una famiglia si sa che:. almeno un maschio non è celibe. tutti i laureati sono celibi. non è vero che almeno un maschio non è maggiorenne. Solo una delle seguenti proposizioni è deducibile dalle premesse. Quale? A. Nessun maggiorenne è celibe B. Tutti i celibi sono laureati C. Almeno un maggiorenne è coniugato D. Almeno un celibe non è maggiorenne E. Almeno un maggiorenne non è coniugato Prova di ammissione Facoltà di Ingegneria Sett 25 Soluzione: C

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