4. Funzioni elementari algebriche

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1 ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 4. Funzioni elementari algebriche A. A

2 Funzioni elementari Sono dette elementari un insieme di funzioni dalle quali si ottengono, mediante composizione ed operazioni algebriche, le funzioni reali più comunemente usate in matematica Fanno parte di tali funzioni quelle già incontrate nei corsi di geometria analitica e di trigonometria sono noti i grafici delle funzioni elementari

3 Funzioni elementari: algebriche e trascendenti Funzioni lineari: y=mx+q Funzioni quadratiche: y=ax 2 +bx+c Funzioni potenza (e radici): y=x Algebriche Funzioni esponenziali: y = a x Funzioni logaritmiche: y = log a x Funzioni trigonometriche: y=senx, y =cosx, y =tgx; y=cotgx Funzioni trigonometriche inverse: y=arcsenx; y =arccosx; y =arctgx; y=arccotgx Trascendenti 3

4 Funzioni elementari L importanza delle funzioni elementari è anche dovuta al fatto che: - sono spesso utilizzate nella costruzione di modelli matematici che descrivono le relazioni dinamiche relative al fenomeno che si sta analizzando - a partire dai loro grafici si possono tracciare grafici di funzioni più complicate senza ricorrere a strumenti complessi (come avviene tradizionalmente nello studio di funzione )

5 FUNZIONI LINEARI Sono il tipo più semplice di funzione reale di variabile reale Le funzioni lineari sono tutte e sole le funzioni f:r R definite da f(x) = m x + q con m,q R (per m=0 si hanno le funzioni costanti) E noto dalla geometria analitica che il grafico di tali funzioni è sempre una retta (per m=0, le rette sono parallele all asse X) 5

6 Funzioni lineari e grafici I grafici delle funzioni lineari sono esattamente le rette del piano non parallele all asse Y delle ordinate Per avere tutte le rette del piano occorre considerare l insieme delle equazioni ax + by + c = 0, con a, b, c R Nota: le rette parallele all asse Y non sono grafici di funzioni Data la funzione f:r R definita da f(x) = m x + q con m,q R cosa rappresentano m e q? 6

7 Funzioni lineari: significato di q sul grafico: rappresenta l incontro della retta con l asse delle Y, detto anche intercetta delle ordinate per la funzione: poiché f(0)=m 0+q, segue che q = f(0) è il valore della funzione in x=0 Domanda: cosa rappresenta invece per la funzione il punto di incontro, x o, del suo grafico con l asse delle X? L ordinata è 0, quindi f(x 0 )= 0: x 0 è il punto in cui si annulla la funzione

8 Funzioni lineari: significato di m - m ha un significato geometrico: quantifica l inclinazione della retta (o pendenza della retta) rispetto all asse X m è ottenuto come rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti qualunque del grafico m m è anche uguale alla tangente dell angolo che l asse X forma con la retta con una rotazione in senso antiorario (per tale motivo m è anche detto coefficiente angolare della retta) y x 2 2 y x 1 1 Significato di m sul grafico

9 Funzioni lineari: significato di m Condizioni di parallelismo tra due rette di equazioni y = m 1 x + q 1 e y = m 2 x + q 2 : m 1 = m 2 Condizioni di perpendicolarità tra due rette di equazioni y = m 1 x + q 1 e y = m 2 x + q 2 : m 1 m 2 = -1

10 Funzioni lineari: significato del parametro m m rappresenta anche una proprietà della funzione: è il rapporto tra la variazione della variabile dipendente e la variazione della variabile indipendente, ovvero il tasso (o rapidità o velocità) di variazione (Δf/Δx) della funzione, che è costante: m x x x f x f x x x f x f x x x f x f x f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Le funzioni lineari sono utilizzate quindi per modellizzare tutti quei fenomeni in cui le due grandezze coinvolte si evolvono con una legge di proporzionalità diretta

11 Esercizio: dal grafico alla funzione Dato il grafico, determinare la rappresentazione algebrica della funzione lineare Osservando il grafico, in figura si identifica l intercetta (-1) e il coefficiente angolare (3/2)

12 Funzioni lineari e grafici Bastano due punti del grafico di una funzione lineare P 0 (x 0, y 0 ) e P 1 (x 1, y 1 ) per ricavare l espressione della funzione f(x) = mx + q : m y x y f 1 0 e q y mx x0 x Viceversa, data una funzione lineare f(x)=mx+q, è facile tracciarne il grafico: basta considerare due punti le cui coordinate (x, y) soddisfano la condizione y = mx+q 12

13 Alcune proprietà delle funzioni lineari Dominio: R Immagine: R, o {q} se f(x) = q (cioè m=0) Invertibilità: le funzioni lineari con m 0 sono biiettive, quindi invertibili se f(x)= mx+q, allora la funzione inversa è definita da: 1 q f 1 ( x) x m m Crescenza/decrecenza : se m>0 la funzione f(x)= mx+q è crescente su tutto il suo dominio, mentre se m<0 è decrescente Descrivere la variazione della variabile y quando la variabile x aumenta sempre più o diminuisce sempre più

14 Nella pratica sperimentale capita spesso di ricavare dati relativi ad un fenomeno in cui è ipotizzabile che una variabile dipenda in modo lineare da un altra (almeno in un certo ambito di osservazione) Problema: come trovare la legge che esprime questa relazione a partire dai dati sperimentali? (cioè, come trovare per il modello matematico f(x) = m x + q i valori di m e q)? 14

15 Esercizio La concentrazione di monossido di carbonio a Milano è passata da circa 10 mg/m 3 nel gennaio 1990 a circa 4.8 mg/m 3 nel gennaio Trovare la relazione tra il tempo t (in anni) e la concentrazione C di monossido di carbonio (in mg/m 3 ) supponendo che sia espressa da una funzione lineare. [C(t) = - 0,52 t ,8] 2. Quale concentrazione di monossido di carbonio si sarà avuta nel gennaio 1997? In quale anno la concentrazione di monossido di carbonio sarà stata di 7,4 mg/m 3? [6,36 mg/m 3 circa ; nel gennaio 1995 ] 15

16 3. Secondo la modellizzazione stabilita quando la concentrazione di monossido di carbonio scenderà sotto il valore di 2.2 mg/m 3? Nota [ t >2005] Le risposte del punto 2 sono un esempio di interpolazione perché si sono stimati valori intermedi tra quelli ottenuti tra due rilevazioni La risposta del punto 3 è un esempio di estrapolazione perché si è stimato un valore esterno rispetto alla regione di osservabilità (le estrapolazioni sono sempre più rischiose delle interpolazioni!) 16

17 Risoluzione grafica di disequazioni lineari Interpretazione geometrica di equazioni e disequazioni di primo grado: risolvere l equazione mx+q = 0 (con m 0) significa trovare l ascissa del punto di intersezione della retta, grafico di f(x) =mx+q, con l asse X risolvere la disequazione mx+q>0 [risp. mx+q<0] equivale a cercare l insieme delle ascisse dei punti della retta che si trovano al di sopra [risp. al di sotto] dell asse X 17

18 FUNZIONI POLINOMIALI Una funzione polinomiale è una funzione f: R R in cui l espressione algebrica della legge è un polinomio di grado n: f(x) = a n x n +a n-1 x n-1 + +a 0 dove a 0, a 1,, a n ( 0) R sono i coefficienti del polinomio e n N è il grado del polinomio - a 0 è il termine noto - a n ( 0) è il coefficiente direttivo (o direttore) Se il polinomio è di grado 0 si ha una funzione costante, se di grado 1 si ha una funzione lineare, se di grado 2 si ha una funzione quadratica 18

19 FUNZIONI QUADRATICHE Le funzioni quadratiche sono tutte e sole le funzioni f: R R definite da: f(x) = ax 2 + bx+ c con a, b, c R e a 0 Il grafico di una funzione quadratica è una curva detta parabola con asse di simmetria parallelo all asse Y 19

20 Proprietà del grafico delle funzioni quadratiche La forma del grafico, cioè della parabola, e la sua posizione rispetto agli assi cartesiani dipendono dai valori di a, b e c Se a>0 la parabola ha la concavità verso l alto, se a<0 ha la concavità verso il basso Il grafico è simmetrico rispetto alla retta x = -b /2a (asse della parabola) Il punto V =(-b /2a ; -Δ /4a) con Δ =b 2-4ac è il vertice della parabola ed è il punto di minimo (cioè il punto in cui la funzione assume il suo minimo valore) se a>0, oppure di massimo (cioè il punto in cui la funzione assume il suo massimo valore) se a<0 c individua l intersezione della parabola con l asse Y: il punto di intersezione è infatti P=(0, c) Cosa si può dire della parabola se b o c sono 0? Se solo c=0, la parabola passa per l origine; se solo b=0 la parabola ha vertice sull asse Y nel punto (0,c); se b=c=0, il vertice della parabola è in O(0,0). Descrivere la variazione della variabile y quando la variabile x aumenta sempre più o diminuisce sempre più

21 Data una funzione quadratica siamo in grado di disegnare il suo grafico Viceversa: una funzione quadratica è completamente determinata dalla conoscenza di 3 punti del suo grafico (dipende infatti da tre parametri a, b, c) Interpretazione geometrica di equazioni e disequazioni di secondo grado: risolvere l equazione ax 2 +bx+c=0 significa trovare le ascisse dei punti di intersezione della parabola, grafico di f(x) =ax 2 + bx+ c, con l asse X (dipendono dal segno di ) risolvere la disequazione ax 2 + bx+ c>0 [risp. ax 2 + bx+ c<0] equivale a cercare l insieme delle ascisse dei punti della parabola che si trovano al di sopra [risp. al di sotto] dell asse X 21

22 Esempio: moto di un corpo che cade Si tratta di un moto uniformemente accelerato La funzione s che descrive la variazione della coordinata verticale del corpo in funzione del tempo t (cioè la sua altezza rispetto al suolo) è data da s(t) s 2 0 v0t gt dove s 0 è la posizione iniziale, v 0 la velocità iniziale nella direzione dell asse verticale e g = 9,8 m/s 2 è l accelerazione di gravità 1 2 Si tratta di una funzione quadratica il cui grafico è una parabola con la concavità rivolta verso il basso

23 FUNZIONI POTENZA Sono funzioni della forma f(x) = x b dove b è un numero reale (esponente della funzione potenza) Qual è il dominio di tali funzioni? Qual è il loro grafico? Dipende dalla natura dell esponente! 23

24 Funzioni potenza f(x) = x b con particolari valori dell esponente Caso I: f(x) = x n, n >0 intero, n pari (n = 2, 4, ) Caso II: f(x) = x n, n >0 intero, n dispari (n = 1, 3, 5, ) 24

25 Caso III: f(x) = x n, n >0 intero, n pari (n = 2, 4, ) Caso IV: f(x)=x n, n >0 intero, n dispari (n = 1, 3, 5, ) 25

26 Caso V: f(x) = x 1/n, n >0 intero, n pari (n = 2, 4, ) Caso VI: f(x) = x 1/n, n >0 intero, n dispari (n = 1, 3, 5, ) 26

27 FUNZIONE f(x) = a/x = ax -1, a reale non nullo La funzione f(x) = a/x = ax -1 con a 0 é il tipo più semplice di funzione razionale (o fratta) (caso particolare f(x)=1/x) Il suo dominio è R- 0 Rappresenta una relazione di proporzionalità inversa: un punto (x, y) appartiene al grafico di f se e solo se xy = a, quindi il prodotto fra l argomento ed il valore della funzione è costante su tutto il dominio della funzione 27

28 Qual è il grafico di f? Come influisce l essere a>0 o a<0? Si tratta di un iperbole equilatera con gli assi di simmetria coincidenti con gli assi coordinati e il centro di simmetria coincidente con il punto (0,0); il grafico si trova nel I e III quadrante se a>0, e nel II e IV quadrante se a<0 a > 0 a < 0 Descrivere il comportamento della variabile dipendente al quando x tende a + o a - e quando x si avvicina a 0 28

29 Esempio: legge di Boyle per i gas Nel 1662 con i suoi esperimenti Robert Boyle determinò che a temperatura costante, per ogni quantità di gas il prodotto dei valori della pressione e del volume rimane costante Come possiamo esprimere questo con una formula? k k V P k da cui V o P,dovek è una costante P V Il grafico di V in funzione di P (o di P in funzione di V) è un iperbole equilatera

30 Un applicazione: il confronto tra funzioni potenza con diverso esponente può fornire interessanti conseguenze sul piano biologico E un fatto geometrico del tutto generale che se S è un solido del quale dilatiamo le dimensioni lineari di un fattore k risulta che: - le misure lineari variano proporzionalmente a k - le aree di superfici variano proporzionalmente a k 2 - i volumi variano proporzionalmente a k 3 30

31 Esempio: una sfera di raggio r ha volume V = 4/3 r 3 e area superficiale A = 4 r 2 Se dilatiamo la sfera, moltiplicando il suo raggio per un numero k >0, si ha: raggio = k r area = 4 (k r) 2 = k 2 A, volume = 4/3 (k r) 3 = k 3 V Quindi se il raggio varia proporzionalmente a k, l area varia con il quadrato di k e il volume con il cubo di k 31

32 Perché non saremo mai invasi dalle formiche giganti? In molti romanzi e film di fantascienza, la Terra viene invasa da enormi insetti aggressivi Oltre all assenza di prove dell esistenza di forme di vita extraterrestri esistono motivi biologici per cui questo evento non può accadere, almeno allo stato delle nostre conoscenze, e la matematica li giustifica! 32

33 Perché non saremo mai invasi dalle formiche giganti? Immaginiamo che una formica lunga 3 mm venga ingrandita con un coefficiente di dilatazione k = 1000 il nuovo insetto sara lungo 3 metri il suo volume sara (1000) 3 = (10 3 ) 3 = 10 9 volte quello originale l area di una sezione di una zampa sara di (1000) 2 = (10 3 ) 2 = 10 6 volte l originale 33

34 Perché non saremo mai invasi dalle formiche giganti? Nell ipotesi che la composizione dei tessuti e dello scheletro rimanga la stessa il nuovo insetto sara un miliardo di volte piu pesante dell originale e poggera su zampe la cui sezione e soltanto un milione di volte maggiore La pressione che il corpo esercitera sulle zampe sara dunque 1000 volte quella originale e le ossa e i tessuti non potranno reggere lo sforzo l insetto gigante non sara in grado di muoversi! 34