Matematica per le Applicazioni Economiche I A.A. 2017/2018 Esercizi con soluzioni Limiti e funzioni continue

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1 Matematica per le Applicazioni Economiche I AA 07/08 Esercizi con soluzioni Limiti e funzioni continue ottobre 07 Limiti Esercizio Usando l'opportuna denizione di ite, si verichi che + 5 Soluzione Osserviamo che il dominio della funzione f + è R Dobbiamo quindi dimostrare che per ogni ε > 0, esiste δ > 0 tale che se 0 < < δ, allora + 5 < ε Fissiamo dunque ε > 0 e mostriamo che esiste δ > 0 tale che l'insieme δ,, +δ è un sottoinsieme dell'insieme delle soluzioni della disequazione 4 < ε, ovvero del sistema { 4 > ε 4 < +ε, ossia del sistema { 4 + ε > 0 4 ε < 0 Senza perdita di generalità si supponga ε < 4 Si ha dunque che la prima equazione del sistema ha come insieme delle soluzioni l'insieme, 4 ε 4 ε, + mentre la seconda equazione del sistema ha come insieme delle soluzioni l'insieme 4 + ε, 4 + ε In denitiva l'insieme delle soluzioni del sistema è 4 + ε, 4 ε 4 ε, 4 + ε Osserviamo che 4 ε, 4 + ε È dunque suciente scegliere, ad esempio, δ min { 4 ε, 4 + ε } ossia δ 4 + ε > 0 Infatti 4 + ε < 4 ε 4 + ε + 4 ε < ε + 4 ε ε 4 ε < ε 4 ε < ε 4 ε < 4 6 ε < 4

2 L'esistenza di δ > 0 avente la proprietà che δ,, + δ 4 ε, 4 + ε può essere dedotta anche osservando che è un punto interno di 4 ε, 4 + ε Esercizio Usando l'opportuna denizione di ite, si verichi che + 6 Soluzione Osserviamo che il dominio della funzione f + 6 è R Dobbiamo quindi dimostrare che per ogni ε > 0, esiste δ > 0 tale che se 0 < < δ, allora + 6 < ε Fissiamo dunque ε > 0 e mostriamo che esiste δ > 0 tale che l'insieme δ,, + δ è un sottoinsieme dell'insieme delle soluzioni della disequazione + 4 < ε In questo caso il calcolo esplicito di tale insieme delle soluzioni è molto complesso Ragioniamo dunque come segue Poiché f 0, applicando il teorema di Runi, abbiamo che Abbiamo dunque che { R : + 4 < ε} { R : + + < ε} Utilizzando la disuguaglianza triangolare, si deduce immediatamente che, per ogni R, Pertanto { R : + + < ε} { R : < ε} Consideriamo adesso l'intervallo, contenente il punto ite Si ha che, per ogni,, Dunque abbiamo che { R : < ε} {, : < ε} {, : 7 + < ε} Assumendo adesso senza perdere di generalità ε <, si ha che {, : 7 + < ε} ε 7, + ε 7 In denitiva abbiamo ottenuto che { R : + 4 < ε} ε 7, + ε 7 Scegliendo dunque δ ε 7, concludiamo la dimostrazione Esercizio Dimostrare che le funzioni f sin e g e sono positive nell'intervallo 0, δ, per δ > 0 sucientemente piccolo Soluzione Poiché e sin e sin e,

3 possiamo applicare il Teorema della permanenza del segno alle funzioni sin e e e dedurre che esiste δ > 0 tale che, per ogni δ, 0 0, δ, sin > 0 e e > 0 Pertanto si ha che, per ogni 0, δ, sin > 0 e e > 0 Esercizio 4 Calcolare il ite e 0 sin Soluzione Sappiamo che 0 e 0 e che 0 sin 0 Pertanto il ite proposto si presenta nella forma 0 0 Poiché 0, è legittimo dividere numeratore e denominatore dell'espressione data per e ottenere l'uguaglianza e e sin e In questo modo abbiamo messo in evidenza i due iti notevoli sin e Siamo adesso nelle condizioni in cui il ite del quoziente è uguale al quoziente dei iti perché il ite del numeratore è nito e il ite del denominatore è nito e diverso da 0 Abbiamo dunque che 0 e dunque il ite dell'espressione proposta è Esercizio 5 Calcolare il ite e sin sin 0 e sin Soluzione Il ite si presenta nella forma 0 0 La funzione considerata è la reciproca di quella considerata nell'esercizio precedente ossia sin e e sin Poiché il denominatore ammette ite nito non nullo, possiamo applicare il teorema sul ite del quoziente da cui segue che sin 0 e e e dunque il ite dell'espressione proposta è Esercizio 6 Calcolare il ite 0 sin sin π Soluzione Poiché π sin 0 ed π π, siamo nelle condizioni in cui il ite del quoziente è il quoziente dei iti perché il ite del numeratore è nito e il ite del denominatore è nito e diverso da 0 Abbiamo dunque che sin π sin 0 π π π 0

4 Esercizio 7 Calcolare il ite 0 e Soluzione Abbiamo che 0 e 0 e che 0, pertanto il ite proposto si presenta nella forma 0 0 Ma l'espressione può essere riscritta in modo da metter in evidenza un ite notevole come segue e e e Esercizio 8 Calcolare il ite Soluzione Esercizio 9 Calcolare il ite Soluzione 9 Esercizio 0 Calcolare Soluzione Esercizio Calcolare il ite Soluzione sin + e cos 0 sin + sin sin + sin 0 sin +sin sin 0 + sin sin + sin + 0 Esercizio Calcolare il ite Soluzione e ln + 0 sin + 0 e ln + 0 sin + e sin e ln+ sin+ ln+ + e ln+ + sin Esercizio Calcolare il ite + e 0 ln 4

5 Soluzione + e 0 ln 0 +e ln 0 + e ln 0 + e 0 ln 0 + Esercizio 4 Calcolare il ite Soluzione ln + 0 e 4 0 ln 0 ln + 0 e 4 e ln + e 4 + ln e Esercizio 5 Calcolare il ite 0 + sin Soluzione Sia f + sin Osserviamo che, per ogni Df, si ha che f e ln+sin, e che 0 è un punto di accumulazione di Df Abbiamo inoltre che Come noto ln + sin ln + sin sin sin 0 Inoltre, poiché si ottiene che In denitiva sin ln + y sin 0 e, 0 y 0 y ln + sin 0 sin ln + sin ln + sin sin 0 Poiché la funzione esponenziale è continua in possiamo inne concludere che f 0 e sin Esercizio 6 Calcolare il ite 0 tan + cos 5

6 Soluzione Il ite presenta una forma indeterminata del tipo tan sin + cos cos 0 + cos 0 cos sin cos Esercizio 7 Calcolare il ite lncos 0 sin Soluzione Il ite presenta una forma indeterminata del tipo 0 0 ln sin lncos 0 sin 0 sin ln sin 0 sin 0 ln sin 0 sin ln sin sin Poniamo y sin e osserviamo che 0 sin 0 Possiamo dunque sostituire sin con y e 0 con y 0, da cui segue ln sin 0 sin ln y y 0 y Esercizio 8 Calcolare il ite 0 tan cos Soluzione Il ite presenta una forma indeterminata del tipo tan cos 0 sin sin cos + cos cos + cos cos + cos 0 cos 0 sin +cos cos sin + Esercizio 9 Calcolare il ite 0 5 sin cos Soluzione Si moltiplicano numeratore e denominatore per Tenendo conto che sin 0 e cos 0 si ottiene 0 5 sin cos 0 5 sin cos 4 5 6

7 Esercizio 0 Calcolare il ite Soluzione Si pone y e si ottiene ln ln y 0 moltiplicando numeratore e denominatore per y dato che ln + y + y ln + y y, y 0 y y 0 + y si ottiene ln y 0 ln + y y y + y Esercizio Calcolare il ite Soluzione Se 0 + allora + quindi + da cui segue Visto che il numeratore è uguale a e il denominatore tende a 0 +, il ite è + Esercizio Calcolare il ite 0 + Soluzione Se 0 allora quindi da cui segue + 0 Visto che il numeratore è uguale a e il denominatore tende a 0 negativo, il ite è Esercizio Calcolare il ite 0 + Soluzione Se 0 allora quindi e da cui segue + Visto che il numeratore è uguale a e il denominatore tende a, si ha che 0 + da cui segue che 0 + / Esercizio 4 Stabilire per quale delle seguenti funzioni si ha 0 f 0 a f sin; b f cos; c f e ; d f tansin Soluzione Nel caso a abbiamo che Nel caso b abbiamo che e dunque il ite non esiste, perché f sin f cos 0, e Nel caso c abbiamo che cos , cos 0 0 f e 0 e e 0 7

8 Inne nel caso d abbiamo che Dunque la risposta corretta è d f tansin 0 0 Esercizio 5 Calcolare il ite [ cos ][ ] 0 + Soluzione Il ite si presenta nella forma indeterminata [ cos0][ ] 0 Moltiplicando il numeratore e il denominatore della frazione di cui vogliamo calcolare il ite per, si ottiene [ cos ][ ] [ cos ] [ ] Posto y si osserva che se 0 +, allora y 0 e dunque, usando un ite notevole, 0 0 cos cosy 0 + y 0 y Inoltre, si ha che + + pertanto Concludendo, si ha che [ cos ][ ] cos Esercizio 6 Usando l'opportuna denizione di ite, si verichi che Soluzione Ricordiamo anzitutto che + sin 0 + f + + signica che il dominio di f, indicato con Df, è superiormente ilitato e che M > 0 ν R tale che se Df e > ν, allora f > M Sia dunque f sin 0 e osserviamo che Df R, che è superiormente ilitato Fissato M > 0, consideriamo quindi la disequazione f > M e mostriamo che esiste ν R tale che l'insieme ν, + è contenuto nell'insieme delle soluzioni della disequazione Osserviamo che, poiché sin 0, si ha sin 0 Quindi, Inoltre > M implica sin 0 > M > M + implica > M, dove M + > 0 poiché per ipotesi M > 0 È dunque suciente scegliere ν M + 8

9 Esercizio 7 Usando l'opportuna denizione di ite, si verichi che Soluzione Ricordiamo anzitutto che cos f + signica che il dominio di f, indicato con Df, è superiormente ilitato e che M > 0 ν R tale che se Df e > ν, allora f < M Fissato dunque M > 0 dobbiamo far vedere che esiste ν R tale che { R : cos < M} ν, + Sappiamo che, senza perdere di generalità, è possibile considerare M maggiore di una opportuna costante Consideriamo dunque in quanto segue M > Osserviamo che { R : cos < M} { [0, + : cos < M} Osserviamo adesso che, per ogni [0, +, si ha che 4 e che cos Allora { [0, + : cos < M} { [0, + : < M} { [0, + : 4 + < M} { } [0, + : 4 > M { [0, + : > 4 [ {0, 4 M 4 [0, +, + È dunque suciente scegliere ν ma {0, 4 M } [ ma Esercizio 8 Usando l'opportuna denizione di ite, si verichi che Soluzione Ricordiamo anzitutto che f L + } M, + signica che il dominio di f, indicato con Df, è superiormente ilitato e che } M ε > 0 ν R tale che se Df e > ν, allora f L < ε Sia dunque f + 4 e osserviamo che Df, 4 0, +, che è superiormente ilitato Fissato ε > 0, dobbiamo dunque considerare la disequazione f < ε e vericare che l'insieme delle sue soluzioni contiene un insieme della forma ν, + con ν R opportunamente scelto Osserviamo adesso che perché Possiamo allora razionalizzare l'argomento del valore assoluto, ottenendo che f < ε se e solo se < ε 4 se e solo se < ε Ricordiamo che non è indispensabile trovare tutte le soluzioni della disequazione, ma possiamo itarci a determinarne un opportuno sottoinsieme che consenta di ottenere la condizione desiderata Poiché + 4 +, si ha che Se dunque risolve 4 < ε, allora risolve f < ε Assumiamo adesso che sia positiva In tal caso avremo 4 < ε se e solo se 4 < ε se e solo se > 4 ε Quindi, per ogni > 4 ε, si ha che f < ε Pertanto basta scegliere ν 4 ε 9

10 Esercizio 9 Calcolare il ite + + Soluzione Poiché +, possiamo assumere Moltiplicando e dividendo per + + si deduce facilmente che il ite è uguale a / Esercizio 0 Calcolare il ite + Soluzione Per la funzione + non è denita e quindi il ite non esiste Esercizio Calcolare il ite Soluzione Tenendo conto che + e e + +, dividendo numeratore e denominatore per si ottiene che il ite è + Esercizio Calcolare il ite Soluzione Per +, + e 4 4 quindi Esercizio Calcolare il ite ln + Soluzione L'argomento del logaritmo tende a 0 quindi il ite è Esercizio 4 Calcolare il ite + Soluzione Per +, si ha che e + si ha quindi + + da cui segue + y + + Esercizio 5 Calcolare il ite e + e + Soluzione Dividendo numeratore e denominatore per e si ottiene quindi e e + e e e + e + e 0

11 Esercizio 6 Calcolare il ite e e + Soluzione Il numeratore tende a e il denominatore tende a 0+ quindi il ite è Esercizio 7 Calcolare il ite Soluzione Per +, + + e + + quindi Esercizio 8 Calcolare il ite + + Soluzione Si razionalizza il numeratore e si ottiene Esercizio 9 Calcolare il ite + + Soluzione Per + si ha + e Moltiplicando e dividendo per la funzione oggetto del ite, segue facilmente che il ite è + Esercizio 40 Calcolare il ite + Soluzione Per semplicare possiamo porre y Si ottiene + y + y + y y + Poiché y + y + y y y + y y +, segue che + y y + y + y + + y Esercizio 4 Calcolare il ite ln [ ] 0 + Soluzione L'argomento del logaritmo tende a 0 quindi il numeratore tende a Il denominatore tende a 0 + quindi il ite è Esercizio 4 Calcolare il ite e

12 Soluzione Il numeratore tende ad e Il denominatore tende a 0 Se + il ite è + mentre se il ite è Dunque il ite non esiste Esercizio 4 Calcolare il ite Soluzione Dato che raccogliendo al denominatore si ottiene + + e + e + e + n + + e + + Esercizio 44 Calcolare il ite Soluzione Osserviamo anzitutto che il dominio della funzione f considerare il ite destro di f per che tende a 0 Si ha inoltre che è 0, Pertanto è lecito Esercizio 45 Calcolare il ite Soluzione Osserviamo che Dunque da cui segue e sin 0 sin 0+ e sin e 0 + sin 0 sin, e sin + e e sin Pertanto, essendo ite destro e ite sinistro diversi, concludiamo che il ite considerato non esiste Esercizio 46 Calcolare il ite Soluzione Il ite si presenta nella forma l'espressione come + ln ln ln Per le proprietà dei logaritmi, possiamo riscrivere ln + ln ln + ln ln ln ln Siamo di fronte ora ad una forma, che ci ricorda z + + z z Facendo il cambio di variabile iniettivo z g ln ln, possiamo aermare che + + ln ln ln + z ln z + z z + [ + ] z ln z

13 [ z ] Questa è una forma ite immediata perché la base + z e e l'esponente è costante pari a ln, perciò z + [ + ] z ln e ln z Esercizio 47 Calcolare il ite ln + sin + e Soluzione Il ite si presenta nella forma non immediata 0 0, ma ln + quando + ci ricorda ln+z ln + z quando z 0, di cui sappiamo che z 0 z ; sin quando + ci ricorda sinz sinz quando z 0, di cui sappiamo che z 0 z ; e e ci ricorda e z quando z 0, e sappiamo che ez z Perciò intanto facciamo il cambio di variabile iniettivo z g, dove z 0 quando +, in questo modo abbiamo che ln + sin ln + z sinz + e z 0 e z Quest'ultimo ite si presenta ancora nella forma 0 0, ma ora possiamo utilizzare i iti notevoli citati Abbiamo dunque che ln + z sinz z 0 e z ln+z z z 0 ez z sinz z Esercizio 48 Calcolare il ite + e sin ln + Soluzione La funzione argomento del ite è esattamente l'antireciproco opposto e reciproco della funzione considerata nell'esercizio 47 Essendo il valore del ite dell'esercizio 47 uguale ad ed in particolare diverso da zero, applicando i noti teoremi sui iti concludiamo che il ite è Esercizio 49 Stabilire per quale delle seguenti funzioni si ha 0 f 0 a f tan; b f e ; c f cos; d f sin tan sin Soluzione La funzione in a non soddisfa la condizione richiesta infatti e La funzione in b non soddisfa la condizione richiesta poiché non esiste Infatti 0 + e +, mentre 0 e cos La funzione in c non soddisfa la condizione richiesta poiché 0 cos La funzione in d sin soddisfa invece la condizione richiesta Infatti si presenta nella forma 0 0, ma riscrivendo l'espressione come sin sin, utilizzando il fatto che, e che quando i fattori hanno iti niti allora il ite di un prodotto è il prodotto dei iti, otteniamo che sin sin Quindi la funzione in d è l'unica funzione che soddis la condizione richiesta cos Esercizio 50 Calcolare il ite Soluzione 0 e ln + 5 4

14 Esercizio 5 Calcolare il ite sin ln ep cos Soluzione La funzione sin ln ep cos è prodotto delle funzioni sin, ln e ep cos ed ha per dominio 0, + Abbiamo che sin 0, 0 ln, 0 ep cos non esiste Pertanto non si può applicare il teorema relativo al ite del prodotto di funzioni e siamo di fronte ad una forma indeterminata Abbiamo tuttavia che poiché Inoltre, per ogni 0, +, si ha che cos ep sin ln 0 sin ln 0, sin e ln 0 0 ep cos ep e Ricordando adesso che il prodotto fra una funzione che tende a 0 e una funzione itata è 0 corollario del teorema del confronto, concludiamo che il ite oggetto dell'esercizio è 0 Esercizio 5 Calcolare il ite Soluzione Osserviamo che Poiché concludiamo che cos e + 6 cos cos 5 + e e cos e + 5 0, 0, , cos e + 6 da cui segue che il ite oggetto dell'esercizio è + 9 6, cos e + 6 Esercizio 5 Calcolare il ite 4 + Soluzione Il ite presenta una forma indeterminata del tipo + + Osserviamo adesso che, utilizzando l'identità a b a ba + ab + b, si ottiene che, a b a b a + ab + b, da cui segue che, per ogni a, b R \{0}, a b a b a + ab + b Abbiamo quindi che

15 Poiché si deduce che il ite oggetto dell'esercizio è + Esercizio 54 Calcolare il ite + + Soluzione Esercizio 55 Calcolare il ite Soluzione Esercizio 56 Calcolare il ite lntan 0 + sin cos Soluzione 0 Esercizio 57 Calcolare il ite ln + e 0 + lnsin 5

16 Soluzione Il ite si presenta nella forma indeterminata Inoltre, ln0 e 0 ln0sin0 0 0 ln + e 0 + lnsin ln + e 0 + sin ln ln Usando noti iti notevoli, si ha che 0 + ln + sin, e sin 0 + sin e ln Inoltre, si ha che Dunque, concludendo, si ha che 0 + e e 0 + ln 0 ln + e 0 + lnsin 0 Esercizio 58 Calcolare il ite Soluzione + e ln + Esercizio 59 Calcolare il ite Soluzione Si osservi che e 5 ln e 5 ln e ln5 5, dove la prima uguaglianza segue da proprietà dei logaritmi e la seconda dal fatto che le funzioni esponenziale e logaritmo sono l'una inversa dell'altra Dunque e 5 ln Si noti che il ite si presenta nella forma indeterminata Si ha tuttavia che e 5 ln Esercizio 60 Calcolare il ite Soluzione Esercizio 6 Si determinino tutti i punti in cui la funzione f + Soluzione 0 e presenta un asintoto verticale 6

17 Esercizio 6 Si determinino tutti i punti in cui la funzione f Soluzione, 0 presenta un asintoto verticale Esercizio 6 Calcolare il ite + sin + Soluzione e Esercizio 64 Calcolare il ite Soluzione Esercizio 65 Calcolare il ite + + ln + ln + Soluzione 0 Esercizio 66 Calcolare il ite Soluzione Esercizio 67 Calcolare il ite sin lne sin + Soluzione 0 Esercizio 68 Calcolare il ite [ + ln + ] + Soluzione Esercizio 69 Calcolare il ite tan cos 0 + sin Soluzione Esercizio 70 Calcolare il ite [ + ln + ] + Soluzione + Esercizio 7 Applicando il Teorema del confronto calcolare i iti: a 0 sin ; b c sin ; + cose sin 0 + 7

18 Soluzione a Osserviamo che 0 sin sin e 0 0 Per il Teorema del confronto otteniamo allora che 0 sin 0, e dunque sin 0 b Si ha che sin sin / + + +, sin dato che + che + sin 0 Infatti 0 sin sin 0 per il Teorema del confronto Quindi anche + c Mostriamo che 0 + cose sin 0 facendo vedere che cose sin per ogni > 0 ed è pertanto possibile concludere e sin 0 cose sin 0 Infatti Poiché 0 + sin, concludiamo che 0 + e del confronto, che 0 + cose sin 0 sin 0 da cui segue, applicando il Teorema Funzioni continue Esercizio 7 Stabilire quale delle seguenti funzioni non è continua in 0 Soluzione b a f sin per 0 e f0 ; b f e per 0 e f0 ; c f 0 per 0 e f per > 0 Esercizio 7 Stabilire quale delle seguenti funzioni non è continua in 0 Soluzione c a f e per 0 e f0 ; b f sin per 0 e f0 ; c f 0 per 0 e f + sin per > 0 Esercizio 74 Stabilire quale delle seguenti funzioni è continua in Soluzione b a f sin per ed f ; b f e e per ed f e; c f ln per ed f ; d f per ed f + per > Esercizio 75 Stabilire quale delle seguenti funzioni è continua in Soluzione a a f cosπ per ed f 0; b f e e per ed f e; c f ln per ed f ; d f 0 per ed f per < 8

19 Esercizio 76 Stabilire quale delle seguenti funzioni è continua ed ammette un punto di minimo { sin, se 0, a f e, se < 0, { cos, se 0, b f e, se < 0, { sin, se 0, c f e, se < 0, { cos, se 0, d f e, se < 0, Soluzione d Esercizio 77 superiormente Stabilire quale delle seguenti funzioni ammette un punto di discontinuità ed è ilitata { a f, se 0, cos, se < 0, { b f, se 0, cos, se < 0, { c f, se 0, cos, se < 0, { d f, se 0, cos, se < 0, Soluzione a Esercizio 78 Per ciascuna delle seguenti funzioni ognuna denita su R si individuino, se esistono, i punti di discontinuità: cos 7 sin se 0 f f + se > se < se cos π sin π se > ln se 0 f +8 + se 0, + se [, 4 4, + 7 se 4 Soluzione La funzione f è continua in ogni punto, 0 Infatti, per ogni 0 < 0, esiste δ > 0 tale che B 0, δ, 0 e dunque, per ogni B 0, δ, f cos 7 sin Deduciamo dunque che che f cos 7 sin cos 0 7 sin0 f dato che le funzioni coseno, seno ed esponenziale sono continue in ogni 0 < 0 per la precisione, lo sono in ogni punto della retta reale, e ogni funzione che è composizione/somma/prodotto/quoziente di funzioni 9

20 continue è continua dove è denita Ragionando in maniera analoga si conclude che f è continua in ogni punto 0, + In denitiva f è sicuramente continua in R \ {0} L'unico possibile punto di discontinuità per f è dunque 0 Calcoliamo allora f f Poiché 4, si deduce che f non è continua in 0 Per f si ragiona in maniera analoga e si deduce che l'unico possibile punto di discontinuità è Calcoliamo allora f f cos π + + sinπ 6 Questo rivela che f 6, ma poiché f 0 che è diverso da 6, si deduce che f non è continua in Per f si ragiona in maniera analoga e si deduce che gli unici possibili punti di discontinuità per f sono i punti dell'insieme {0,, 4} Risulta che f è continua in 0 dato che f f f Inoltre, f è continua anche in dato che f f f Tuttavia, f non è continua in 4, dato che 4 f +, 4 + f Esercizio 79 Per ciascuna delle seguenti funzioni ognuna denita su R si individuino, se esistono, i valori del parametro a, o dei parametri a e b, che rendono la funzione continua in R: { a + se a f se > { e b f a se 0 ln + a se > 0 { a se 0 c f e a se > 0 + b se d f + a + se, b se { e f f f g f e a se 0 a + ln + se > 0 + a se < 0 a se [0, ] se > { e + a se 0 6 se > 0 0

21 { h f + 5 se < 0 a + cos + 4 ln + se 0 Soluzione a Ragionando come nella soluzione dell'esercizio 78 si deduce che f è continua in R \ {} Dunque f è continua in R se e solo se è continua in, e questa proprietà è soddisfatta se e solo se f 5 a f è uguale a + f + + L'uguaglianza 5 a vale se e solo se a 9 b f è continua in R se e solo se è continua in 0, e questa proprietà è soddisfatta se e solo se 0 f f0 è uguale a 0 + f a L'uguaglianza a è violata per ogni a reale c f è continua in R se e solo se è continua in 0, e questa proprietà è soddisfatta se e solo se 0 f 0 f0 è uguale a 0 + f 0 L'uguaglianza 0 0 è soddisfatta per ogni a reale d f è continua in R se e solo se è continua in e in La continuità in è soddisfatta se e solo se f + b f è uguale a + f + a La continuità in è soddisfatta se e solo se f 5 + a è uguale a + f 8 b f Le uguaglianze + b + a e 5 + a 8 b sono soddisfatte se e solo se a, e b e f è continua in R se e solo se è continua in 0, e questa proprietà è soddisfatta se e solo se 0 f a f0 è uguale a 0 + f a L'uguaglianza a a è soddisfatta se e solo se a o a f f è continua in R se e solo se è continua in 0 e in La continuità in 0 è soddisfatta se e solo se 0 f + a è uguale a 0 + f f0 La continuità in è soddisfatta se e solo se f a f è uguale a + f 0 Le uguaglianze + a e a 0 sono soddisfatte se e solo se a g f è continua in R se e solo se è continua in 0, e questa proprietà è soddisfatta se e solo se 0 f f0 è uguale a 0 + f 0 L'uguaglianza 0 è violata per ogni a reale h f è continua in R se e solo se è continua in 0, e questa proprietà è soddisfatta se e solo se 0 f 5 è uguale a 0 + f a + f0 L'uguaglianza 5 + a vale se e solo se a 4 Esercizio 80 Sapendo che f : R R è continua nel punto 0 5 e f5, è possibile dedurre il segno di f49 o il segno di f50? Soluzione No, non è possibile dedurre il segno di f49 o il segno di f50 Certamente, grazie al Teorema della permanenza del segno sappiamo che esiste un intorno di 5 in cui la funzione f è positiva Tuttavia, tale teorema non stabilisce quanto questo intorno sia grande, e se quindi esso includa i punti 49 o 50 Esercizio 8 Si determini il dominio della funzione { ln se f + se > Si stabilisca inoltre se sono soddisfatte le ipotesi del teorema della permanenza del segno nei punti,, e 4 Soluzione Il dominio della funzione è 0, + In, e le ipotesi del Teorema della permanenza del segno non sono soddisfatte Infatti f non è denita in ; f 0; f non è continua in In 4 invece le ipotesi del Teorema della permanenza del segno sono soddisfatte Infatti f4 > 0 ed f è continua in 4 Pertanto esiste un intorno di 4 tale che f > 0 per ogni nell'intorno Esercizio 8 Sia f : R R tale che, per ogni R, f Quali delle seguenti aermazioni non è necessariamente vera: a f > 0 b f è ilitata superiormente c f + d f è crescente Soluzione d

22 Esercizio 8 Sia f : R R tale che, per ogni R, f e Quali delle seguenti aermazioni non è necessariamente vera: a f > b f è ilitata superiormente c f è continua d f + Soluzione c Esercizio 84 Utilizzando il teorema degli zeri, si dimostri che l'equazione ammette una soluzione nell'intervallo 0, Soluzione La funzione f : R R tale che f 5 + è continua nell'intervallo [0, ] Verichiamo i valori della funzione agli estremi dell'intervallo f0, f Le ipotesi del teorema sono vericate e quindi possiamo aermare che l'equazione f 0 ha almeno una soluzione in questo intervallo Esercizio 85 Per l'equazione 8 + si utilizzi il teorema degli zeri al ne di stabilire l'esistenza di una soluzione nell'intervallo 0, ; si provi inoltre che tale intervallo contiene un'unica soluzione dell'equazione Soluzione Sia f 8 + e si noti che 0 è soluzione dell'equazione proposta se e solo se f 0 0 Risulta che f0 < 0 e f > 0 Poiché f è continua in [0, ] f è la somma di funzioni continue si deduce che esiste un 0 0, tale che f 0 0, ovvero esiste in 0, una soluzione dell'equazione Inoltre tale soluzione è unica in 0, poiché f è strettamente crescente in 0, f è la somma di funzioni strettamente crescenti e di una costante Esercizio 86 Per ciascuna della seguenti equazioni si dica se è possibile utilizzare il teorema degli zeri al ne di stabilire l'esistenza di una soluzione nell'intervallo indicato a anco dell'equazione Nei casi in cui questo non sia possibile, è possibile stabilire in un altro modo l'esistenza di una soluzione nell'intervallo? In quali casi è possibile stabilire l'esistenza di un'unica soluzione nell'intervallo? a + 6 5; 0, 4 b + log ;, c 6 ;, d 4 ;, { 4 + sinπ + se < e f 0, con f + ; 0, se Soluzione a Sia f e si noti che 0 è soluzione dell'equazione se e solo se f 0 0 Risulta che f0 5 > 0 e f4 9 < 0 Poiché f è continua in [0, 4], si deduce che esiste 0 0, 4 tale che f 0 0, ovvero esiste in 0, 4 una soluzione dell'equazione Si noti tuttavia che f non è la somma di funzioni tutte strettamente crescenti o tutte strettamente decrescenti, e pertanto è impossibile, con i metodi presentati nora, stabilire se f è strettamente monotona o no Dunque non possiamo garantire che l'intervallo 0, 4 contenga un'unica soluzione in realtà ne contiene tre: 0, 5, b Sia f + log e si noti che 0 è soluzione dell'equazione se e solo se f 0 0 Risulta che f > 0 e f 6 < 0 Poiché f è continua in [, ], si deduce che esiste un 0, tale che f 0 0, ovvero esiste in, una soluzione dell'equazione Poiché f è strettamente decrescente in [, ] è la somma di funzioni strettamente decrescenti e di una costante, si deduce che nell'intervallo, si trova un'unica soluzione dell'equazione

23 c Sia f + 6 e si noti che 0 è soluzione dell'equazione se e solo se f 0 0 Risulta che f 7 > 0 e f 6 5 > 0 Dunque non si può applicare il teorema degli degli zeri, e in eetti, non contiene alcuna soluzione dell'equazione, dato che 6 > 0 per ogni [, ], e dunque f > 0 per ogni [, ] d Sia f + 4 e si noti che 0 è soluzione dell'equazione se e solo se f 0 0 Risulta che f 7 > 0 e f > 0 Dunque non si può applicare il teorema degli zeri per concludere che esiste una soluzione in,, ma in realtà risulta che f0 < 0 e dunque il teorema degli zeri stabilisce l'esistenza di una soluzione in, 0 e di un'altra soluzione in 0, f è strettamente crescente in 0,, pertanto la soluzione è unica in 0, e Risulta che f0 4 < 0 e f 65 6 > 0 Tuttavia, non è possibile applicare il teorema degli zeri perché f non è continua in Infatti f e + f In eetti, non esiste alcuna soluzione in 0, dell'equazione f 0 poiché f < 0 per ogni 0, e f > 0 per ogni [,