PRINCIPIO BASE DEL CONTEGGIO

Transcript

1 Calolo ombinatorio PRINCIPIO BASE DEL CONTEGGIO Se dobbiamo ompiere due esperimenti onseutivi ed il primo esperimento può assumere N risultati diversi e per ognuno di questi il seondo esperimento ne può assumere M, allora in totale i sono NxM risultati totali. DEFINIZIONE Sia A { a1, a2,, an} elementi di A si hiama permutazione semplie. ESEMPIO. Sia A { a, b, } = K un insieme di n oggetti distinti. Ogni ordinamento degli =. Le permutazioni di A sono ( a, b, ),( a,, b),( b, a, ), ( b,, a),(, a, b),(, b, a ). TEOREMA Il numero di permutazioni (semplii) di un insieme finito A { a1, a2,, an} DIMOSTRAZIONE P = n! = n( n 1)( n 2) K n = K è

2 DEFINIZIONE Sia A { ar, a,, 1 r a 2 r h } = K un insieme di n oggetti non tutti distinti, tale he r1 + r2 + K + rh = n, dove on r i si è indiata la moltepliità dell elemento i-esimo. Ogni ordinamento degli elementi di A si hiama permutazione on ripetizione. A = a, b,, a = { a, b, }. Le permutazioni on ripetizione di A sono: ESEMPIO. Sia { } (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) TEOREMA Il numero di permutazioni on ripetizione di un insieme finito di n oggetti {,,, } A = a a K a P ognuno ontato on la propria moltepliità è r1 r2 r1 r2 r h DIMOSTRAZIONE n Krh n! = r! r! K r! 1 2 h

3 DEFINIZIONE Sia A { a1, a2,, an} = K un insieme di n oggetti distinti. Ogni sottoinsieme di A ostituto da k elementi, 0 k n, si hiama ombinazione semplie di lasse k. ESEMPIO. Sia A { a, b,, d} { a, b, },{ a, b, d},{ a,, d},{ b,, d }. =. Le ombinazioni semplii di lasse 3 di A sono TEOREMA Il numero di ombinazioni semplii di lasse k, 0 k n, di un insieme ostituito da n n! n elementi distinti è Cn, k = = k k!( n k)!. ESEMPIO. In una lasse di 100 studenti si possono formare C100,5 gruppi di studio formati da 5 di essi ! = = = ! 95!

4 DEFINIZIONE Sia A { a1, a2,, an} = K un insieme di n oggetti distinti. Ogni sottoinsieme ordinato di A di ardinalità k si hiama disposizione semplie di lasse k. ESEMPIO. Sia A { a, b,, d} =. Le disposizioni semplii di A di lasse 2 sono: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) TEOREMA Il numero di disposizioni semplii di lasse k, 0 k n, di un insieme A tale he ard( A) = n è n! Dn, k = ( n k)! DIMOSTRAZIONE ESEMPIO. Si deve formare una squadra di mini-basket (3 gioatori) da segliere fra 13 ragazzi. Quante squadre diverse ostituite da un entro, un play ed un ala si possono formare? Due squadre sono diverse se sono diversi i ragazzi he le formano ma anhe se essi assumono ruoli diversi. 13! D 13,3 = = !

5 DEFINIZIONE Sia A { a1, a2,, an} = K un insieme di n oggetti distinti. Ogni gruppo ordinato ostituto da k elementi non neessariamente distinti, estratti da A si hiama disposizione on ripetizione di lasse k. ESEMPIO. Sia A { a, b, } =. Le disposizioni on ripetizione di lasse 3 di A sono: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ). TEOREMA Il numero di disposizioni on ripetizione di lasse k, di un insieme ostituito da n r k elementi è Dnk = n. ESEMPIO. Quattro amii prenotano quattro posti a teatro. In quanti modi diversi possono sedersi? D 4 4! 4,4 = C P 4,4 4 = 4! = = = !

6 Eventi e loro algebra DEFINIZIONE Diesi evento aleatorio standard (o sempliemente evento) una proposizione he, in seguito ad un esperimento, deve risultare vera o falsa, senza dare adito ad equivoi. ESEMPIO. La frase oggi è una bella giornata non è un evento infatti per qualuno può esserlo ma per altri no. ESEMPIO. E = oggi abbiamo una temperatura > 18 gradi è un evento in quanto non è ambigua. ESEMPIO. La frase G= Il 12 diembre 2014 sarà il giorno della fine del mondo è un evento. DEFINIZIONE Assegnati due eventi, A e B, si die he A implia B, in simboli A quando dall essere vero A segue he è vero anhe B. B, DEFINIZIONE Gli eventi A e B si diono equivalenti, o sempliemente uguali, in simboli A = B, se e solo se A B e B A.

7 DEFINIZIONE Dato un evento A si hiama ontrario (negazione) di A, in simboli quell evento he è vero quando A è falso ed è falso quando A risulta vero. A = A, DEFINIZIONE Assegnati due eventi, A e B, la loro somma logia, in simboli A B quell evento he è vero se lo è almeno uno dei due. DEFINIZIONE Assegnati due eventi, A e B, il loro prodotto logio, in simboli A B è quell evento he è vero se lo sono entrambi., è ESEMPIO. Una oppia ha due figli, siano assegnati i seguenti eventi A= il primo figlio è un mashio, B= il seondo figlio è un mashio. Con ovvio signifiato dei simboli si ha { } { }. C = A B = MM, MF, FM, D = A B = MM

8 PROPRIETA 1. Per tutti gli eventi valgono le seguenti proprietà: a) A A = A b) A A = A ) ( A ) = A d) ( ) A B A B = e) ( A B) = A B. ESEMPIO. I seguenti due eventi sono uguali ( A B) = nessuno dei figli è mashio, A B = tutti e due i figli sono femmina ESEMPIO. I seguenti due eventi sono uguali ( A B) = non è vero he entrambi i figli sono mashi, A B = almeno uno dei due figli è femmina.

9 L evento erto, indiato on Ω. L evento impossibile, indiato on. Tutti gli altri eventi si diono possibili. DEFINIZIONE Due eventi A e B si diono inompatibili se non possono verifiarsi ontemporaneamente. PROPRIETA 2. Per tutti gli eventi valgono le seguenti proprietà: a) A Ω = Ω b) A Ω = A ) A = A d) A = e) A A = Ω, f) A A = g) A, B inompatibili A B =. A1, A 2,..., A n si hiama lasse ompleta di eventi inompatibili e neessari (spazio ampionario) se valgono entrambe le ondizioni: DEFINIZIONE Un insieme di n eventi { } i j A A = ; n U Ai = Ω.. i= 1 i j

10 ESEMPIO. Nel onsiderare la prova lanio di un dado l insieme di eventi{ E i ; i = 1,...,6} Con Ei = si presenta la faia i ostituise una lasse di eventi inompatibili e neessari. Infatti due di essi non possono verifiarsi ontemporaneamente e nello stesso tempo uno di essi si verifia on ertezza. DEFINIZIONE Diesi evento ondizionato E H (o evento E subordinato al verifiarsi di H) un evento he assume i seguenti valori se = se se ESEMPIO E= Tizio supera l esame di matematia ; H= Tizio supera l esame di fisia se supera sia MAT he FIS ="supera MAT dato he supera FIS"= se supera FIS ma non MAT se non supera FIS

11 Le diverse definizioni di probabilità DEFINIZIONE (lassia) La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei asi favorevoli all evento ed il numero di tutti i asi possibili, giudiati egualmente possibili. ESEMPIO. Si onsideri l evento E = ese un faia dispari al prossimo lanio. ard ( E) 3 1 p( E) = = = ard ( Ω ) 6 2. DEFINIZIONE (frequentistia) La probabilità di un evento è la frequenza relativa di suesso. ESEMPIO. Laniamo volte una moneta ed osserviamo he testa si presenta volte. Stimiamo allora p( T ) = =

12 DEFINIZIONE (assiomatia) La probabilità di un evento E è il numero p( E ) he soddisfa i seguenti assiomi: a) 0 p( E) 1 b) p( Ω ) = 1 ) E, E,..., E,... tali he 1 2 i j E E = i n j si ha: ( ) p E E E 1 2 = p( E ) + p( E ) p( E ) n n DEFINIZIONE (soggettiva) La probabilità di un evento è il grado di fiduia he un individuo oerente attribuise al suo verifiarsi.

13 PROPOSIZIONE Assegnati due eventi qualsiasi, A, G, valgono le relazioni: 1. p( E ) = 1 p( E) DIMOSTRAZIONE 2. ( ) 0 p = DIMOSTRAZIONE

14 3. teorema delle probabilità totali p( E G) = p( E) + p( G) p( E G) DIMOSTRAZIONE 4. se E G allora p( E) p( G) DIMOSTRAZIONE.

15 Valutazioni di probabilità nell ipotesi di asi elementari equiprobabili ESEMPIO. Estraendo a aso una arta da un mazzo di arte franesi (sono 52 suddivise in 4 semi (pihe, uori, quadri e fiori) di 13 arte iasuno (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A)) i proponiamo di alolare la probabilità he essa sia: a. Il re di uori ard (K) 1 p(k) = = ard ( Ω ) 52 b. Un asso di qualsiasi seme. Una arta qualsiasi di quadri ard (A) 4 1 p(a) = = = ard ( Ω ) ard (q) 13 1 p(q) = = = ard ( Ω ) 52 4

16 d. Un asso oppure un re p(k A) = p(k)+ p(a) = + = e. Né una donna né una arta di fiori p(q ) ( Q ) 1 p( Q ) p( ) p( ) p( ) = p = ( ) = 1 Q + Q = = 1 = =

17 Cenni alla probabilità ondizionata La probabilità ondizionata di un evento E rispetto a un evento H è la probabilità he si verifihi E, sapendo he H è verifiato. TEOREMA (probabilità omposte) Assegnati due eventi qualsiasi, E, H, si ha p( H E) = p( H ) p( E H ) DEFINIZIONE Due eventi H ed E si diono stoastiamente indipendenti se p( H E) = p( H ) p( E). Da un punto di vista forse più intuitivo si può introdurre il onetto di indipendenza stoastia anhe in modo diverso. Se onsideriamo due eventi E ed H on probabilità diversa da zero allora possiamo dire he E è indipendente da H (stoastiamente) se ( )=P(E),

18 ESEMPIO. Supponiamo di laniare un dado e onsideriamo gli eventi: H = ese un numero maggiore di 3 ; E = ese un numero pari Mostrare he ( ) ( ). ESEMPIO. Supponiamo di laniare un dado e onsideriamo gli eventi: H = ese un numero minore di 5 ; E = ese un numero pari Mostrare he ( )= ( ).

19 FORMULA DI BAYES Per due eventi E ed H di probabilità strettamente positiva si ha: p( H E) = p( H) p( E H) p( H) p( E H) + p( H ) p( E H ) DIMOSTRAZIONE

20 TEOREMA DI BAYES Data una lasse ompleta finita di eventi inompatibili e neessari { } H1, H2,..., Hn ui sia stata assegnata una probabilità ed un evento E on p( E ) > 0, per ogni i = 1, 2,..., n, si ha: p( H E) = i n j= 1 p( H ) p( E H ) i p( H ) p( E H ) j i j. Fissato un indie i la p( H i ) si hiama probabilità a priori dell evento H i e p( Hi E ) si hiama probabilità a posteriori ondizionata ad E, dove E è un evento osservabile ossia il risultato di un esperimento statistio. L effiaia del teorema sta nel fatto he ogni possibile del verifiarsi di E. H i possa essere onsiderato ome una spiegazione

21 ESEMPIO. Sulla base di indagini medio-statistihe è noto he lo 0,001% degli italiani è affetto da AIDS mentre lo 0,01% degli italiani appartiene a una delle osiddette ategorie a rishio. Inoltre si sa he tra gli ammalati di AIDS l 80% appartiene ad una ategoria a rishio. Si determini la probabilità he un italiano appartenente ad una ategoria a rishio sia affetto da AIDS. Soluzione P(AIDS)=0,001%=10 10 =10 ; P(RISCHIO)=0,01%=10 10 =10 ; P(RISCHIO AIDS)=0,8 ; Applihiamo la Formula di Bayes ( ) P(AIDS RISCHIO)= ( ) 8% = ( ) ( ) ( ) =, =0,8 10 =0,08= ESEMPIO. Per determinare la presenza di un erto virus si utilizza un test linio he può dare esito positivo o negativo e he ha le seguenti aratteristihe qualitative: VIRUS \ TEST POSITIVO NEGATIVO SI 99% 1% NO 2% 98%

22 E noto he solo due persone su dieimila hanno il virus. Sulla base di questa tabella l ente di ontrollo statale sui farmai autorizza la vendita del test. Voi he ne dite? Soluzione Nel 99% dei asi il test dà esito positivo quando è il virus. Nel 98% dei asi il test da esito negativo quando il virus non è. Tutto sommato sembra un buon test ma. S=evento il soggetto onsiderato ha il virus N=evento il soggetto onsiderato non ha il virus ( )= =0,0002; ( )=0,9998, ( )=0,99; ( )=0,01, ( )=0,02; ( )=0,98. Il test, per essere un valido strumento per determinare la presenza del virus nella popolazione, deve avere un elevata probabilità ( ) ioè di veder onfermato il risultato del test nella realtà ossia di individuare orrettamente he ha il virus sapendo he il test ha data risultato positivo.

23 Caloliamo tale probabilità usando il teorema di Bayes: ( )= ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) = 0,99 0,0002 0,99 0,0002+0,02 0,9998 =0,01, una probabilità troppo bassa per un test. La onseguenza della ommerializzazione sarebbe un numero elevato di falsi positivi ioè di persone he non hanno la malattia sebbene il test ne indihi la presenza (è Positivo). Il problema risiede nel fatto he siome la probabilità di essere malati è P(S)=0,0002, vuol dire he i sono nella popolazione pohi malati e tanti sani. Però il test fra tutti i sani (he sono tanti) india un 2% ome malati (sbagliando). Ma il 2% di tanta gente fa tanta gente e quindi molti errori del test.