PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE -MATEMATICA 2006/2007 Modelli Matematici per la Società Incontro del

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1 PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE -MATEMATICA 2006/2007 Modelli Matematici per la Società Incontro del CODICI MONOALFABETICI E ANALISI DELLE FREQUENZE (organizzata da Francesca Visentin) Riprendiamo alcuni concetti di crittografia "antica" discussi nell'incontro del , per illustrare la loro possibilità di decrittazione. Un codice si dice monoalfabetico quando usa un solo alfabeto cifrante. Il più noto tra i codici antichi di questo tipo è quello che va sotto il nome di codice di Giulio Cesare in cui ogni lettera nel messaggio viene cambiata con quella che nell alfabeto la segue di tre posizioni. Indichiamo con A l insieme costituito dalle 26 lettere maiuscole dell alfabeto, un testo T è una successione finita di elementi di A. L idea di Cesare era quella di sostituire ogni lettera in T con la lettera che la segue in A a tre passi di distanza, considerando ad un passo da Z la A (come se l alfabeto fosse scritto in circolo), per ottenere il testo cifrato C. Scrivendo su due righe successive l alfabeto in chiaro e l alfabeto cifrante, il codice di Giulio Cesare funziona in questo modo: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C Esempio: T-Testo in chiaro: A L E A I A C T A E S T, C-Testo cifrato: D O H D L D F W D H V W. Naturalmente il discorso si può generalizzare a quanti posti si voglia di distanza nell alfabeto. Ad esempio nell alfabeto standard a 26 lettere è possibile generare 25 diverse cifrature significative (esclusa quella identica). Il problema principale di questo codice è che ha un numero molto limitato di chiavi (25) per cui procedendo con pazienza chiunque può venirne a capo abbastanza semplicemente. Un sistema di codifica che almeno per molto tempo fu ritenuto molto più sicuro è il metodo di Vigenère che si basa su un sistema crittografico polialfabetico. Questo metodo però fu ritenuto a lungo anche molto complicato e fino a quando (nel 1700 circa) i crittoanalisti non divennero altamente specializzati nella decifrazione si preferì continuare ad usare sistemi crittografici monoalfabetici però a chiave, per complicare la decifrazione. Questo tipo di cifrario si ottiene inserendo le lettere (considerate senza ripetizione) di una chiave all inizio dell alfabeto cifrante e inserendo tutte le altre di seguito nel loro ordine naturale, partendo dalla lettera che segue l ultima lettera della chiave. Ad esempio se la parola chiave è universale otteniamo: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z U N I V E R S A L M O P Q T W X Y Z B C D F G H J K In questo modo otteniamo una distribuzione casuale dell alfabeto in cui bisogna ricordare solo una parola chiave. Questa cifratura è più complicata di quella di Cesare, eppure i decrittatori già prima dell anno 1000 riuscirono a trovare una via che non li costringeva a provare miliardi di permutazioni: l analisi delle frequenze. Un enorme contributo a questo metodo di decrittazione fu dovuto alla cultura araba nel periodo tra il IX e X secolo, in particolare il 1

2 trattato più antico in cui compare la descrizione del procedimento è un trattato di al-kindi (detto il filosofo degli Arabi ) il quale scrisse 290 opere sui più vari argomenti: matematica, medicina, musica, linguistica. L opera a cui facciamo riferimento si intitola Sulla decifrazione dei messaggi criptati e fu ritrovata solo nel 1987 nell archivio ottomano di Istanbul. L opera contiene ampie informazioni circa la statistica, la fonetica e la sintassi della lingua araba e, spiegato in due paragrafi, ma in modo estremamente semplice il processo di decrittazione basato sull analisi delle frequenze. In ogni lingua le lettere dell alfabeto non compaiono con la stessa frequenza nella composizione delle parole. Ad esempio in italiano lettere come la A e la E sono molto più usate di lettere come la Q o la Z. Queste caratteristiche sono determinabili mediante l analisi di testi scritti, contando materialmente le volte che le singole lettere compaiono nel testo e poi facendo le percentuali sul totale. Naturalmente per ottenere un risultato significativo il testo deve essere abbastanza lungo e non particolarmente specifico, ad esempio da un testo concernente l uva zibibbo si potrebbero trovare risultati molto difformi dalla media, in quanto comparirebbero molto più spesso le lettere z e b che invece hanno frequenze abbastanza basse. Riportiamo per curiosità la tabella delle lettere dell alfabeto (dalla più alla meno usata) relative alle lingue: italiano, francese, inglese, spagnolo e tedesco. Per quello che riguarda la lingua italiana indicheremo anche la percentuale di frequenza. ITALIANO FRANCESE INGLESE SPAGNOLO TEDESCO Frequenza E E E E E A N T A N I A A O R O 9.83 S O S I N 6.88 R I R S L 6.51 I N I T R 6.37 U S N U T 5.62 T R L D S 4.98 O H D A C 4.50 L L C H D 3.73 D D T G P 3.05 C C U L U 3.01 M U P O M 2.51 P M M C V 2.10 V F Y M G 1.64 F P Q B H 1.54 B G G Z F 0.95 G W V F B 0.92 X Y H W Q 0.51 H B F K Z 0.49 Q V B V J 0 Y K J P K 0 Z X Z J W 0 J J K Q X 0 K Q W X Y 0 W Z X Y La tabella mostra come l ordine delle lettere vari moltissimo da lingua a lingua. 2

3 Suggerimento sul modo di procedere con il metodo dell analisi delle frequenze: i decrittatori, invece di mettersi alla ricerca della permutazione giusta che porta l alfabeto cifrante in quello naturale, si misero ad analizzare il testo cifrato per determinare la frequenza con cui comparivano le singole lettere presenti nel testo stesso. Questo procedimento è possibile se si conosce la lingua in cui il messaggio è stato scritto. Comunque è facile immaginare (anche se non è sempre così) che in generale i messaggi segreti siano scritti nella lingua del paese che li invia. Supponiamo di avere un testo cifrato in italiano abbastanza lungo da poter analizzare le frequenze delle lettere che lo compongono. Dopo questa analisi, se la lettera che compare più frequentemente è ad esempio L, è molto facile che essa corrisponda nel testo in chiaro ad una delle tre vocali A, E oppure I che hanno le frequenze più alte e quasi simili nella lingua italiana. Per cominciare a fare un ipotesi di lavoro si può assumere L=E, poi se P è la seconda in ordine di frequenza P=A e così via. Dato che le lettere più comuni in italiano sono quattro vocali: E, A, I, O, per poter determinare qualche consonante può essere interessante controllare nel messaggio quali sono le lettere meno comuni. Mettiamo che la C sia la lettera di frequenza più bassa, dato che in italiano le lettere meno comunemente usate sono la Q e la Z, la C è un buon candidato per rappresentare una di queste lettere. A questo punto conviene controllare le stringhe che contengono la C, per vedere quale lettera la segue. Infatti nella lingua italiana la Q è sempre seguita dalla U, quindi se nel messaggio cifrato non troviamo sempre la stessa lettera dopo la C possiamo abbandonare l idea di C=Q e tentare con C=Z. Se invece compare sempre la stessa lettera allora tentiamo con C=Q e abbiamo anche trovato un altra corrispondenza, quella relativa alla lettera U. Si può anche passare alla ricerca di parole comuni, ad esempio la parola NON è molto usata in italiano, se si trova una sequenza con tre lettere di cui quelle esterne uguali si può immaginare che esse rappresentino la N e la O. Così continuando, e rivedendo man mano le ipotesi fatte, in quanto varie frequenze sono molto vicine, con un numero ragionevole di tentativi si può arrivare a decifrare il messaggio. Quello che abbiamo descritto è un procedimento molto più complesso, ma ricorda comunque il procedimento che normalmente si segue per risolvere gli schemi di parole crociate crittografate senza chiave. Per secoli la cifratura per sostituzione monoalfabetica a chiave aveva garantito la segretezza; ma lo sviluppo dell analisi delle frequenze prima in Arabia, poi in Europa provò la debolezza del sistema; anche se solo nel 1700 si passò decisamente al metodo di Vigenère. 3

4 ANALISI DELLE FREQUENZE DI UN MESSAGGIO CIFRATO Dato il seguente messaggio cifrato (in italiano, usando però l alfabeto a 26 lettere): B N Y D T N G N A V O T F N C K C F S V B H F T B 2 3 G V Y K T B V T T Y R J B V T I V H T B H V G V H 4 5 F T G O C F Z T B C V B Y J D V Z T B B T F V B N 6 7 Y Y N B C H H V A V D Y N B V Y J B V C V Y I C F 8 9 S C Z T G H F C G N B G V I V Y N T Y Y T Y V I N F H T A V G R N Y H T V B A V K V A J T Y N N Z T B T J B N A V H H C V B R J V R U V N A N R U N V Y J D V Z T B B T F V G V D F N G N B H V B C G D C B H T B N T Z N B H N T Y Y C G D N A T Y N Y C R T Y N D N F G C H H C D C F G V T H N F T D V T V R V H H T A V B V A V O T F N C K C F S G C B C Z C Y H C F V G D N H H C G V A N Y Y T Y N S S N N G T B B C R U N V B D T N G N R N T Y Z N B C J B Y J D C Z T B B T F C Z T B N G G J B C A V Y C F C G T A V N G G N F Y C D J C K N B V F B N T R C B C G R N B Q T G C Y C S J T F A T B A C E J N Y Y C R U N Y C R V F R C B A T E J V B A V B N Y Y N B C H H V A V D Y N B V Y J B V C G J R R N G G V K N T Y Y N A V H H C S V F T B C D N F Y N K V N A N Y D T N G N V B R C B H F T B A C G V H F T Y C F C A C D C Y T H N F Q T B C H H N T Y R J B V Y J D V Z T B B T F V G V F N R T B C T O T F G V R J F T F N E J T B H V G C B C N D N F R U N R V C T R R T A N A C D C Y T H N F Q T B C H H N 48 TOTALE LETTERE: 600 1) Decrittare il messaggio usando il metodo dell analisi delle frequenze. 2) Scrivere l alfabeto cifrante e determinare la parola chiave. 3) Rispondere alla domanda inserita nel messaggio. NOTA: Il messaggio non è sufficientemente lungo per ottenere che le frequenze si attestino ai valori indicati in tabella, però l ordine decrescente di frequenza con cui compaiono le lettere nel messaggio è nella maggior parte dei casi rispettato. 4

5 SOLUZIONE (non data agli studenti, per farli lavorare autonomamente a casa) 1) FREQUENZE LETTERE NEL MESSAGGIO Cifrante Numero Percentuale N V T B C Y F H G R A D J Z K S U O I E Q CORRISPONDENZE Cifrante Cifrata Numero Percentuale N E V I T A B N C O Y L F R H T G S R C A D D P J U Z M K V S G U H O F I B E Q Q Z

6 Testo in chiaro e cifrato B N Y D T N G N A V O T F N C K C F S V B H F T B 2 N E L P A E S E D I F A R E O V O R G I N T R A N 3 G V Y K T B V T T Y R J B V T I V H T B H V G V H 4 S I L V A N I A A L C U N I A B I T A N T I S I T 5 F T G O C F Z T B C V B Y J D V Z T B B T F V B N 6 R A S F O R M A N O I N L U P I M A N N A R I N E 7 Y Y N B C H H V A V D Y N B V Y J B V C V Y I C F 8 L L E N O T T I D I P L E N I L U N I O I L B O R 9 S C Z T G H F C G N B G V I V Y N T Y Y T Y V I N 10 G O M A S T R O S E N S I B I L E A L L A L I B E 11 F H T A V G R N Y H T V B A V K V A J T Y N N Z T 12 R T A D I S C E L T A I N D I V I D U A L E E M A 13 B T J B N A V H H C V B R J V R U V N A N R U N V 14 N A U N E D I T T O I N C U I C H I E D E C H E I 15 Y J D V Z T B B T F V G V D F N G N B H V B C G D 16 L U P I M A N N A R I S I P R E S E N T I N O S P 17 C B H T B N T Z N B H N T Y Y C G D N A T Y N Y C 18 O N T A N E A M E N T E A L L O S P E D A L E L O 19 R T Y N D N F G C H H C D C F G V T H N F T D V T 20 C A L E P E R S O T T O P O R S I A T E R A P I A 21 V R V H H T A V B V A V O T F N C K C F S G C B C 22 I C I T T A D I N I D I F A R E O V O R G S O N O 23 Z C Y H C F V G D N H H C G V A N Y Y T Y N S S N 24 M O L T O R I S P E T T O S I D E L L A L E G G E 25 N G T B B C R U N V B D T N G N R N T Y Z N B C J 26 E S A N N O C H E I N P A E S E C E A L M E N O U 27 B Y J D C Z T B B T F C Z T B N G G J B C A V Y C 28 N L U P O M A N N A R O M A N E S S U N O D I L O 29 F C G T A V N G G N F Y C D J C K N B V F B N T R 30 R O S A D I E S S E R L O P U O V E N I R N E A C 31 C B C G R N B Q T G C Y C S J T F A T B A C E J N 32 O N O S C E N Z A S O L O G U A R D A N D O Q U E 33 Y Y C R U N Y C R V F R C B A T E J V B A V B N Y 34 L L O C H E L O C I R C O N D A Q U I N D I N E L 35 Y N B C H H V A V D Y N B V Y J B V C G J R R N G 36 L E N O T T I D I P L E N I L U N I O S U C C E S 37 G V K N T Y Y N A V H H C S V F T B C D N F Y N K 38 S I V E A L L E D I T T O G I R A N O P E R L E V 39 V N A N Y D T N G N V B R C B H F T B A C G V H F 40 I E D E L P A E S E I N C O N T R A N D O S I T R 41 T Y C F C A C D C Y T H N F Q T B C H H N T Y R J 42 A L O R O D O P O L A T E R Z A N O T T E A L C U 43 B V Y J D V Z T B B T F V G V F N R T B C T O T F 44 N I L U P I M A N N A R I S I R E C A N O A F A R 45 G V R J F T F N E J T B H V G C B C N D N F R U N 46 S I C U R A R E Q U A N T I S O N O E P E R C H E 47 R V C T R R T A N A C D C Y T H N F Q T B C H H N 48 C I O A C C A D E D O P O L A T E R Z A N O T T E TOTALE LETTERE: 600 6

7 Testo in chiaro N E L P A E S E D I F A R E O V O R G I N T R A N 3 4 S I L V A N I A A L C U N I A B I T A N T I S I T 5 6 R A S F O R M A N O I N L U P I M A N N A R I N E 7 8 L L E N O T T I D I P L E N I L U N I O I L B O R 9 10 G O M A S T R O S E N S I B I L E A L L A L I B E R T A D I S C E L T A I N D I V I D U A L E E M A N A U N E D I T T O I N C U I C H I E D E C H E I L U P I M A N N A R I S I P R E S E N T I N O S P O N T A N E A M E N T E A L L O S P E D A L E L O C A L E P E R S O T T O P O R S I A T E R A P I A I C I T T A D I N I D I F A R E O V O R G S O N O M O L T O R I S P E T T O S I D E L L A L E G G E E S A N N O C H E I N P A E S E C E A L M E N O U N L U P O M A N N A R O M A N E S S U N O D I L O R O S A D I E S S E R L O P U O V E N I R N E A C O N O S C E N Z A S O L O G U A R D A N D O Q U E L L O C H E L O C I R C O N D A Q U I N D I N E L L E N O T T I D I P L E N I L U N I O S U C C E S S I V E A L L E D I T T O G I R A N O P E R L E V I E D E L P A E S E I N C O N T R A N D O S I T R A L O R O D O P O L A T E R Z A N O T T E A L C U N I L U P I M A N N A R I S I R E C A N O A F A R S I C U R A R E Q U A N T I S O N O E P E R C H E C I O A C C A D E D O P O L A T E R Z A N O T T E 2) Alfabeti in chiaro e cifrante: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z T I R A N O S U V W X Y Z B C D E F G H J K L M P Q Chiave: tirannosauro 7

8 4) I lupi mannari che si presentano in ospedale sono 3. Per comprendere meglio il ragionamento da seguire, cominciamo a supporre che ci sia un solo lupo mannaro. La prima notte di plenilunio, quando tutti i cittadini di Fareovorg escono e si incontrano tra loro, tutti i non trasformati vedono un lupo mannaro, invece il cittadino che si è trasformato in lupo mannaro non ne vede nessuno. Sapendo però che in paese c è almeno un lupo mannaro, capisce di essere lui e si reca in ospedale. Se invece ci sono due lupi mannari, la prima notte tutti i cittadini non trasformati vedono due lupi mannari, ma i due trasformati ne vedono uno solo, però sanno che in paese c è almeno un lupo mannaro e quindi non si stupiscono e non hanno motivo di pensare che ce ne sia più di uno. La seconda notte di plenilunio però, quando ognuno di loro vede ancora un solo lupo mannaro in giro per il paese comprende che i lupi mannari devono essere due, perché in caso contrario l unico lupo sarebbe andato in ospedale la prima notte e (vedendone uno solo) capisce che l altro è lui. Così dopo la seconda notte i due lupi si recano in ospedale. Il ragionamento può valere per un numero qualsiasi n di lupi mannari, che, quindi, dopo la n- sima notte si rendono conto di esserlo e vanno a farsi curare. Allora, dato che nel nostro caso questo avviene dopo la terza notte, i lupi mannari sono tre. 8