Assicurazione e contratto assicurativo

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1 Teoria dei giochi, A.A. 2002/03 c Fioravante Patrone 1 Assicurazione e contratto assicurativo Consideriamo il problema di assicurarsi contro un sinistro. Vediamo le ragioni per cui può verificarsi il fatto che entrambe le parti (assicurando ed assicuratore) preferiscono sottoscrivere il contratto di assicurazione. Vedremo il problema ridotto all osso, per cogliere gli aspetti essenziali. Valore della cosa assicurata: V Probabilità che avvenga il sinistro: p Premio: P Funzione di utilità dell assicurando: u Funzione di utilità dell assicuratore: v Ricordiamo che si definisce premio equo quel premio che rende uguale (per l assicurando, ovvero per l assicuratore: se lo è per l uno, lo è anche per l altro)ilguadagnoattesoperlasceltadiassicurarsiaquelloperlasceltadi non assicurarsi. Il premio equo è P e = p V Esaminiamo la convenienza del contratto di assicurazione dalla parte di assicurando e di assicuratore. Ciascuno di loro deve esprimere la sua preferenza rispetto a due lotterie: una è quella che scaturisce dal fatto di stipulare il contratto di assicurazione, l altra del fatto di non stipularlo. Si noti che le lotterie tra cui deve scegliere l assicurando sono diverse da quelle tra le quali deve scegliere l assicuratore. Assicurando: - si assicura: guadagna P con probabilità 1 ½ 0 con probabilità 1-p - non si assicura: guadagna V con probabilità p Assicuratore: - non assicura: guadagna 0 con probabilità 1 ½ P con probabilità 1-p - assicura: guadagna P V con probabilità p Verifichiamo che effettivamente per P = P e = p V il guadagno atteso per

2 Teoria dei giochi, A.A. 2002/03 c Fioravante Patrone 2 l assicurando è identico per entrambe le lotterie: se si assicura, il guadagno atteso è P = P e se non si assicura, il guadagno atteso è(1 p) 0+p ( V )=p ( V )= P e. Verifichiamolo ora per l assicuratore: se assicura, il guadagno atteso è(1 p) P + p (P V )=(1 p) p V + p (p V V )=0. se non assicura, il guadagno atteso è0 Si noti che, come detto, se il premio è equo dal punto di vista del guadagno atteso per l assicurando, allora lo è anche dal punto di vista dell assicuratore, e viceversa. Basta notare come le lotterie tra cui deve scegliere l assicuratore siano ottenibili da quelle dell assicurando, scambiando si assicura con non assicura e non si assicura con assicura, e poi aggiungendo P in tutti i tre casi (ovverro i tre stati di natura : avviene il sinistro quando l assicurazione non è stipulata, non avviene il sinistro quando l assicurazione non è stipulata e l assicurazione è stipulata ). Ovviamente, se sia assicurando che assicuratore sono indifferenti al rischio, questo è come dire che il loro criterio di scelta è il guadagno atteso (ovverossia: possiamo in tal caso assumere che u e v siano la funzione identità). Ne segue che per loro è indifferente stipulare oppure no il contratto di assicurazione. Di fatto, in presenza di indifferenza al rischio il contratto di assicurazione non verrà stipulato per la presenza, ineludibile in ogni contratto, dei costi di transazione. Tutto ciò vale se assumiamo che il premio sia quello equo, cioè sep = P e. Altrimenti, se P>P e, si vede immediatamente che l assicurando preferirà non assicurarsi (l assicuratore invece vorrebbe assicuralo, ma un contratto va sottoscritto in due...). Considerazioni del tutto simmetriche se P<P e. Supponiamo allora che l assicurando sia strettamente avverso al rischio, vale adirecheu sia strettamente concava. Sia P u l equivalente certo per l assicurando della lotteria: 0 con probabilità 1 p e V con probabilità p. Ovverossia, P u è caratterizzato dal fatto che: u( P u )=(1 p) u(0) + p u( V ) Per comodità scelgo u tale che sia: u(0) = 0 e u( V )= 1. Allora sarà u( P u )= p. Per la stretta concavità diu, è P u < p V = P e. Ovverossia, P u >P e. Il disegno seguente illustra queste considerazioni analitiche:

3 Teoria dei giochi, A.A. 2002/03 c Fioravante Patrone 3 Sempre per semplicità, considero che l assicuratore sia indifferente al rischio e quindi scelgo, sempre per comodità, v tale che sia: v(0) = 0 e v( V )= 1. Pertanto, v(x) =x/v. Sia allora P t.c. P e <P <P u. Ho, per l assicurando: u(mi assicuro) = u( P ) >u( P u )=u(non mi assicuro) Per l assicuratore: v(assicuro) = (1 p) v(p )+p v(p V )=......= P p V V = P P e V > 0=v(0) = v(non assicuro)

4 Teoria dei giochi, A.A. 2002/03 c Fioravante Patrone 4 Come si vede, entrambi preferiscono stipulare il contratto di assicurazione. EciòvaleperogniP t.c. P e <P <P u. Quale sia poi il P che viene effettivamente scelto, dipenderà in senso generale dal potere contrattuale dei due soggetti (conseguenza di vari fattori, tra cui la struttura del mercato assicurativo esistente). L esempio visto considera, per così dire, l essenza del contratto assicurativo. Ancora mantenendosi a questo livello di essenzialità si potrebbe fare un caso più generale, per mostrare come ciò checontadavverononèavereun decisore avverso al rischio ed uno indifferente al rischio, ma avere due decisori con due gradi diversi di avversione al rischio (o amore per il rischio). Questa generalizzaizone viene lasciata al lettore :-)

5 Teoria dei giochi, A.A. 2002/03 c Fioravante Patrone 5 Perché non assicuro più la mia macchina per il furto? Si tratta di riprendere il problema come sopra formulato e per comodità supporre che il premio sia dato da P = π V.Conπ che rappresenta il premio unitario, e che supporremo costante. Ovviamente supporremo che sia π >p, di modo che l assicuratore abbia sempre convenienza ad assicurare (ricordo che stiamo assumendo che l assicuratore sia indifferente al rischio). Per l assicurando, se V è il valore che ha da assicurare, lui avrà una utilità attesa (e certa...) pari a: u(mi assicuro) = u( P )=u( π V ) Se invece non si assicura, la sua utilità attesaèdatada: u(non mi assicuro) = (1 p) u(0) + p u( V ) Possiamo fissare u(0) = 0 ed u( V 0 )= 1 (dovev 0 è il valore iniziale dell auto, ma non vi è nulla di essenziale in questa scelta). Tutto ciò allo scopo di semplificare (poco) la formula: u(non mi assicuro) = p u( V ) Allora,semiassicuroèperchéè: u( π V ) >p u( V ) (*) Ora, è agevole verificare che, se la quantità V diventa più piccola, tutto il resto restando fisso (cioè non cambiano: u, p, π), questa disuguaglianza prima o poi dovrebbe diventare falsa. Per lo meno se supponiamo che la funzione u sia derivabile. Infatti, se u è derivabile, scegliendo V abbastanza piccolo, ovvero tale che u( V ) V u 0 (0), la disuguaglianza (*) diventa, approssimativamente: u( π V ) ( π V ) u 0 (0) >p V u 0 (0) p u( V ) Se u 0 (0) > 0 (ipotesi ragionevole), la disuguaglianza precedente si semplifica così, dividendo per V u 0 (0): π > p Cosa che contrasta con l assunzione fatta che fosse π >p. Nel mio caso particolare, la inversione nella disuguaglianza, e quindi il passaggio dalla scelta di assicurarsi a quella di non assicurarsi èproprioavvenuta per via del progressivo diminuire di V. Si noti che nella formula (*) compaiono le grandezze u, π,v,p. Qui abbiamo ipotizzato che solo V variasse, mentre le altre le abbiamo assunte costanti. In realtà, è possibile che la relazione (*) non sia più soddi-

6 Teoria dei giochi, A.A. 2002/03 c Fioravante Patrone 6 sfatta ad esempio perché: - (tenendo fissi u, π,v): è cambiata la probabilità che l auto sia rubata (per esempio, acquisto di un garage, trasferimento ad altra zona residenziale più tranquilla, cambio di abitudini nell uso dell auto, etc.) - (tenendo fissi u, V, p): il premio unitario è aumentato (ad esempio, la compagnia di assicurazione ha alzato i prezzi) - (tenendo fissi π,v,p): è cambiata la u. In particolare, è diminuita la mia avversione al rischio (magari come conseguenza di un notevole miglioramento della mia condizione economica) Va da sé che può esserci un cambiamento anche di due, tre o di tutti i parametri contemporaneamente.

7 Teoria dei giochi, A.A. 2002/03 c Fioravante Patrone 7 Assicurazione: autometrica di AXA La Axa ha introdotto un contratto di assicurazione innovativo: uno paga un premio che dipende dal numero di chilometri percorsi. Ovviamente ciò presuppone un meccanismo affidabile per sapere quanti Km uno ha fatto (un sigillo al contachilometri). Facciamo un ipotesi eroica ed anche ben poco realistica: ovverossia che sia dato il valore V del sinistro che viene assicurato. In realtà, trattandosi di responsabilità civile, ciò che viene assicurato èpiù ragionevolmente rappresentabile come una gamma di sinistri, corredati dalla probabilità chesi verifichino. Per evitare complicazioni ci teniamo in questo contesto ipersemplificato. Possiamo allora assumere che si abbia la struttura del premio indicata dalla formula seguente: P = P 0 + P 1 x Dove P 0 è il premio da pagare comunque, indipendentemente dai chilometri percorsi. Mentre P 1 è il premio al chilometro. Ovviamente x indica il numero di chilometri percorsi. Supponiamo che oltre a questa vi sia un altra tariffa sul mercato, ovverossia quella classica che prevede un premio fisso P f. Si assuma che i valori di P 0,P 1,P f siano dati e non contrattabili da parte dell assicurando. Quale tariffa sceglierà l assicurando? Tenendo conto del comportamento prevedibile degli assicurandi, come èplausibile che vengano fissati P f e P 0,P 1 dall assicurazione? (Si assuma che vi sia una sola compagnia assicuratrice). Se pensiamo ad un mercato in cui vi fosse precedentemente solo la tariffa a premio fisso, che effetto potrà avere l introduzione di questa nuova tariffa?