+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento:

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1 Capitolo 3 Serie 3. Definizione Sia { } una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile, alla somma a + a di tutti i termini della successione. Questa operazione formale è detta serie (infinita) di termine generale, e viene anche indicata con la scrittura + P Nel seguito farà comodo avere la possibilità di cambiare l indice della sommatoria, in modo da iniziare a sommare da valori diversi da. Se risulta più utile avere a che fare con sommatorie che iniziano da 4, èsufficiente cambiare n in m = n +3, per ottenere la scrittura = m=4 a m 3. Inoltre, capiterà di avere a che fare con successioni { } definite per ogni n 0, ed in quei casi tratteremo con n=0 = a 0 + a + a Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento: i) Per ogni n fissato, calcoliamo la somma dei primi n termini della serie s n = n a k = a + a a k. ii) Abbiamo in questo modo ottenuto la successione {s n }, icuiterminisono 37

2 38 CAPITOLO 3. SERIE s = s 2 = P P 2 a k = a a k = a + a 2... P s n = n a k = a + a e questa successione viene detta successione delle somme parziali della serie + P. È utile osservare che la costruzione della {s n } apartiredalla{ } avviene in modo iterativo, perchè s n = s n + per ogni n 2. Questo permette di affermare che ogni successione {S n } è la successione delle somme parziali di una ben precisa + P A n ; basta infatti utilizzare A = S, e A n = S n S n per n 2. Definizione 3. Una serie + P èdettaconvergente, divergente o irregolare,aseconda che lo sia la sua successione delle somme parziali. Determinare il carattere di una serie significa stabilire a quale delle tre precedenti categorie appartenga. Le serie convergenti o divergenti sono dette regolari. Definizione 3.2 Per le serie convergenti, il lim s n = s R è detto somma dellaserie,edinquestocasosiscrive s = + P. Esempio La serie di termine generale costante = c R per ogni n ha ovviamente successione delle somme parziali s n = nc, equindiè convergente con somma 0 nel caso c =0, divergente a + se c>0, e divergente a se c<0. N Esempio 2 È immediato calcolare {s n} nel caso della serie di termine generale =( ) n. Infatti s =, s 2 = +=0,s 3 = + =,...Poichè la somma di due termini consecutivi dà risultato nullo, la successione {s n } assume i valori e 0, a seconda che n sia dispari o pari. La serie è perciò irregolare. N Esempio 3 La serie di termine generale = n è divergente a +, perchè hasommeparziali n(n +) s n =. N 2 In questi esempi ci è stato possibile ricavare la successione {s n } in modo esplicito, ma questo può essere, in generale, un compito molto arduo, se non impossibile.

3 3.2. PROPRIETÀ GENERALI Proprietà generali Nell affrontare lo studio di una serie ci troviamo a cercare una risposta per: Problema A Determinare il carattere della serie. Problema B Se la serie è convergente, calcolarne la somma. Dare una risposta al secondo problema può essereestremamentedifficile, come si può notare dalla Proposizione 3.3 Se i termini delle serie + P e + P b n differiscono solo per un numero finito di indici, le serie hanno lo stesso carattere. Dim. Itermini e b n coincidono per ogni n N, per cui le rispettive somme parziali di posto N + m soddisfano s N+m t N+m = = = N+m à N N N+m a k N+m a k + k=n N a k b k = a k! b k = C. à N N+m b k + k=n b k! Così, la differenza s n t n èdefinitivamente costante, e le successioni {s n } e {t n } sono entrambe convergenti, o divergenti, o irregolari. Dalla dimostrazione di questa Proposizione si nota che, mentre la modifica di un numero finito di termini di una serie convergente non ne cambia il carattere, questa operazione può rendere molto arduo il compito di calcolarne la somma. Per questo motivo ci dedichiamo, nel seguito, a cercare criteri che permettano di rispondere al Problema A. Unodiquesticriteriè: Teorema 3.4 Se la serie + P converge, si ha lim =0. Dim. Per ipotesi la successione delle somme parziali {s n } converge al limite finito s. Poichè = s n s n, per n + abbiamo s s =0. Il teorema fornisce una condizione necessaria affinchè una serie converga, e ci dà la possibilità di individuare facilmente alcune serie che non convergono. Esempio 4 Le serie di termine generale =,b n =( ) n,c n = n viste negli esempi precedenti non convergono. Così pure + P 2 /n non converge, in quanto 2 /n 6= 0. N La condizione lim =0nonèperòsufficiente per garantire la convergenza di una serie, e quindi il teorema ha un applicazione limitata. Può infatti accadere che il termine generale tenda a zero senza che la serie converga.

4 40 CAPITOLO 3. SERIE Esempio 5 + P n ++ n. Ovviamente 0; inoltre, moltiplicando e dividendo per ( n + n) troviamo subito che = n + n. Così s n = a 2 + a = ( n + n)+( n n ) ( 3 2) + ( 2 ) = n + + equindilaseriedivergea+. N Un risultato più completo del precedente fornisce una condizione siecessaria che sufficiente per la convergenza di una serie. Teorema 3.5 (Criterio di Cauchy) La serie + P converge se e solo se è soddisfatta la condizione di Cauchy per le serie n+p P ε > 0 n = n(ε) : n n, p = a < ε. k k=n+ Dim. Poichè la convergenza della serie equivale alla convergenza della successione delle somme parziali {s n }, possiamo utilizzare il Teorema 2. per concludere che la serie converge se e solo se la {s n } soddisfa la condizione di Cauchy ε > 0 n = n(ε) : n, m n = s m s n < ε, e chiaramente possiamo pensare che si<m= n + p. Così n+p n ε > s m s n = a k a = k cioè latesi. n+p k=n+ Quest ultimo teorema è di scarso utilizzo pratico. Per questo motivo decidiamo di cercare condizioni che siano magari solo sufficienti, ma più maneggevoli da applicare. 3.3 Convergenza assoluta Spesso si fa riferimento alla convergenza di una serie come alla convergenza semplice, per marcare la distinzione con la seguente proprietà. Definizione 3.6 La serie + P è assolutamente convergente se è convergente la serie + P. Ovviamente, lozione di convergenza (semplice) e quella di convergenza assoluta coincidono nel caso i termini della serie siano tutti (o almeno definitivamente) dello stesso segno. Queste due nozioni sono legate dal a k

5 3.4. SERIE A TERMINI DI SEGNO COSTANTE (I) 4 Teorema 3.7 La convergenza assoluta implica la convergenza. Dim. Se + P è convergente, necessariamente soddisfa la condizione di Cauchy. Mostriamo che anche la + P soddisfa la stessa condizione; ciòsaràsufficiente per garantirne la convergenza. n+p P Per ε > 0 fissato, esiste un indice n che garantisce che se n n esep, allora a k k=n+ < ε. Così, per gli stessi n e p abbiamo n+p n+p a a k k < ε k=n+ cioè la condizione di Cauchy per la serie + P. k=n+ L enunciato del Teorema 3.7 non è invertibile, nel senso che esistono serie numeriche semplicemente convergenti, mon assolutamente convergenti. Perciò, la convergenza assoluta rappresenta una condizione sufficiente, mon necessaria, per la convergenza (semplice) di una serie. Esempio 6 Non siamo ancora in grado di dimostrarlo, ma più avanti (Proposizione 3.3 ed Esempio 4) vedremo che la serie ( ) n+ n = converge semplicemente, mon assolutamente. N Esempio 7 Più avanti (Esempio 0) saremo anche in grado di dimostrare che la + P cos n n 2, icuiterminihannounsegnodifficile da determinare, èassolutamenteconvergente,equindi convergente. N Nel prossimo paragrafo scopriremo che se il termine ha (almeno definitivamente) segno costante, è possibile ricavare alcune informazioni su + P ; la stessa coson è in generale possibile per serie il cui termine generale ha segno arbitrario. Per queste ultime, il Teorema 3.7 costituisce la più semplice condizione (seppur solo sufficiente) di convergenza. 3.4 Serie a termini di segno costante (I) Consideriamo ora serie + P, il cui termine generale ha segno costante. pensiamo di avere 0. Per comodità, Teorema 3.8 Se 0 per ogni n, la serie + P è regolare. Più precisamente: la serie è converge oppure diverge a +.

6 42 CAPITOLO 3. SERIE Dim. Abbiamo s n+ = s n + + s n n e quindi la successione {s n } è monotònon-decrescente, quindi convergente (se limitata) oppure divergente a + (vd. par.2.4). Con un comprensibile abuso di notazione, per queste serie scriviamo =+ oppure nelcasosiano,rispettivamente,divergentioconvergenti. < + Teorema 3.9 (Criterio del confronto) Date le serie + P e + P b n, con 0 b n per ogni n, siha: se se + P + P =+ b n < + allora allora + P + P b n =+ ; < +. P Dim. Le successioni delle somme parziali s n = n P a k e t n = n b k soddisfano s n t n. Corollario 3.0 Se esistono due costanti C, c > 0 per la quali c b n C definitivamente le serie + P e + P b n sono entrambe convergenti, o entrambe divergenti. In particolare, questo vale se b n. Osservazione Per quanto detto nella Proposizione 3.3, le tesi del Teorema 3.9 e del Corollario 3.0 rimangono valide anche se le ipotesi non sono verificate per ogni n, ma lo sono definitivamente. Il Criterio del confronto, ed il suo corollario, sono strumenti estremamente utili per stabilire il comportamento di una serie a termini non-negativi, perchè permettono di ricondurre il problema della convergenza di una serie + P b n, in cui b n è difficile da trattare, a quello della convergenza di una serie + P in cui ha un comportamento confrontabile con quello di b n, ma un aspetto più semplice. Chiaramente, l utilizzabilità diquesticriteriètantopiùampiaquantopiùè ricco l elenco di serie campione di cui è noto il comportamento; il prossimo paragrafo contiene lo studio di alcune serie particolari. Concludiamo questa prima sezione di risultati teorici per serie a termini non-negativi con un risultato che lega serie ed integrali impropri.

7 3.5. ALCUNE SERIE CAMPIONE 43 Teorema 3. (Criterio integrale) Sia f :[, + ) R una funzione non-negativa e monotòna non-crescente. Allora Z + f(x)dx e f(n) sono contemporaneamente convergenti oppure divergenti. Dim. Per ogni k intero l integrale di f esteso all intervallo [k, k + ] soddisfa f(k +) Z k+ perchè f è monotòna e non-negativa. Sommando n n s n f() = f(k) = f(k +) k=2 k f(x)dx f(k) Z n n f(x)dx f(k) =s n s n. Da qui segue la tesi, perchè R n f(x)dx R + f(x)dx in quanto f ha segno costante. 3.5 Alcune serie campione Riportiamo alcune Proposizioni che descrivono il comportamento di alcune serie. Le dimostrazioni di questi risultati possono essere ottenute anche in modo diverso da quello proposto, utilizzando icriterifin quiincontrati. Proposizione 3.2 (Serie geometrica) La serie n=0 q n =+q + q 2 + q , q R èdettaserie geometrica di ragione q. Questa serie converge alla somma diverge a + se q, ed è irregolare se q. q nel caso q <, Dim. La serie ha termini non-negativi solo nel caso q 0. Nel caso q = abbiamo chiaramente s n = n + + ; inoltre, anche nel caso q 6= siamo in grado di calcolare esplicitamente la successione delle somme parziali s n = s n (q) =+q q n = ( + q qn )( q) q = qn+. q Se ne ricava che lim s n(q) = + se q q se se q

8 44 CAPITOLO 3. SERIE da cui segue la tesi. Osservazione In modo simile si ottiene che, per q <, q n = qn n=n q. Osservazione Una parte delle risposte fornite da questa Proposizione può anche essere ottenuta in altro modo. Infatti, dalla divergenza della serie per q = si ottiene, per il Criterio del confronto, chelaseriedivergea+ per ogni q. Per q non ci può essere convergenza, perchè il termine generale non tende a zero (vd. Teorema 3.4). + P Esempio 8 La Proposizione 3.2 può essere utilizzata per scrivere sotto forma di frazione un numero periodico. Ad esempio 0, 37 = 0, = = = = = = n=0 0 2 n. N Esempio 9 In modo simile, abbiamo: 0, 38 = 0, = = = = = n=0 0 n. N Proposizione 3.3 (Serie armonica) La serie diverge a +. n = Dim. La funzione f(x) = x, x, è positiva e decrescente, e R + (/x) dx non converge. Per il Criterio integrale (Teorema 3.) abbiamo la tesi. Osservazione La serie armonica fornisce un altro esempio di serie in cui la condizione lim = 0nonèsufficiente per garantire la convergenza della serie (vd. Teorema 3.4 ed Esempio 5).

9 3.5. ALCUNE SERIE CAMPIONE 45 Proposizione 3.4 (Serie armonica generalizzata) La serie n p =+ 2 p (p R) 3p converge se e solo se p>. Per p diverge a +. Dim. È una serie a termini positivi, quindi convergente oppure divergente a + (Teor.3.8). Se p 0 il termine generale non tende a 0, e quindi la serie diverge (Teor. 3.4). Se p>0, applichiamo il Criterio integrale (Teor. 3.) alla funzione positiva e decrescente f(x) = x p, x. Esempio 0 La serie + P cos n n 2 incontratell Es.7 è assolutamente convergente, perchè cos n n 2 n 2.. N Esempio Il termine generale della serie di Mengoli + P soddisfa la relazione n(n +) n(n +), e quindi, per il Corollario 3.0 e la Proposizione 3.4 la serie converge. In n2 realtà, di questa serie siamo anche in grado di calcolare la somma. Infatti il suo termine generale può essere scritto come = n(n +) = n n + per cui µ s n = µ µ µ n n + = n n + = n + per via delle cancellazioni. Così, s n, e la serie di Mengoli ha somma. (Somme finite di questo tipo, in cui tutti i termini tranne il primo e l ultimo si cancellano, sono anche dette somme telescopiche.) A titolo di curiosità: è possibile dimostrare (mon con le tecniche di cui disponiamo ora) che + P n 2 = π2 6. N Sempre utilizzando il Criterio integrale (Teor. 3.) è possibile ottenere il seguente risultato, che estende quanto detto per la serie armonica generalizzata. Proposizione 3.5 La serie n=2 n p (log n) q p, q R converge solo nei casi: p >, q qualsiasi oppure p =,q >.

10 46 CAPITOLO 3. SERIE 3.6 Serie a termini di segno costante (II) Il Criterio integrale non è l unico strumento che ci permette di stabilire se una serie a termini non-negativi converge. Tra le varie altre condizioni, segnaliamo le più note. Teorema 3.6 (Criterio del Rapporto) Sia + P una serie a termini positivi. ) Se lim sup + <, la serie + P converge. ) Se + definitivamente, la serie + P diverge. Dim. Se lim sup abbiamo + + < δ se n n = n(δ). Perciò <, esiste δ (0, ) per cui lim sup < δ < δ 2 2 <...<δ n n + < δ < e, per il Teor. 2.5, n>n Così èdefinitivamente maggiorabile con il termine generale di una serie geometrica convergente, e quindi + P converge. Se invece + per ogni n n, la successione{ } non può tendere a zero. Corollario 3.7 Sia + P una serie a termini positivi, per la quale esiste [0, + ]. Allora: + lim = ` Osservazione + P Quando lim sup ) se `<, la serie + P converge; ) se `>, la serie + P diverge. +,p R, soddisfano questa condizione. np Esempio 2 La serie n=0 x n n! = questo criterio è inconcludente. Ad esempio, tutte le =+x + x2 2! + x3 3! +..., x R è detta serie esponenziale. Possiamo mostrare che converge assolutamente per ogni x R. Se x =0è ovvio, mentre per x 6= 0poniamo = x n /n! ed abbiamo + n! (n +)! x n = = x n+ x n + 0 <.

11 3.6. SERIE A TERMINI DI SEGNO COSTANTE (II) 47 Questaseriedeveilnomealfattochesipuòdimostrare n=0 x n n! = ex dove e è il numero di Nepero. Perciò µ lim + t = e = t + t n!. n=0. N Teorema 3.8 (Criterio della Radice) Sia + P λ =limsup n an. Allora: una serie a termini non-negativi, e sia ) se λ <, la serie + P converge; ) se λ >, la serie + P diverge. Dim. Se λ <, esiste µ (0, ) per cui lim sup n an <µse n n = n(δ). Perciò n an <µ< e, per il Teor. 2.5, abbiamo <µ n n>n. Così èdefinitivamente maggiorabile con il termine generale di una serie geometrica convergente, e quindi + P converge. Se invece λ >, dalla Definizione 2.2 segue che esiste una sottosuccessione di n ª che converge a λ, e quindi { } non può tendere a 0. Corollario 3.9 Sia + P a termini non-negativi, e supponiamo esista [0, + ]. Allora: lim n an = λ ) se λ <, la serie + P converge; ) se λ >, la serie + P diverge. Osservazione Anche in questo caso, se λ = il criterio è inconcludente. Tutte le + P soddisfano questa condizione.,p R, np

12 48 CAPITOLO 3. SERIE Esempio 3 La serie + P Invece la serie + P (n +) n µ n n converge, in quanto 2n + n an = n 2n + 2. e 3n diverge, perchè n = n + e 3 +. N Osservazione Il Criterio della Radice è spesso più difficile da utilizzare rispetto al Criterio del Rapporto, ma ha uno spettro di applicabilità maggiore. Questo significa che se il Teorema 3.6 fornisce una risposta, la (stessa) risposta si ottiene con il Teorema 3.8; se invece il Criterio della Radice non dà risposta, lo stesso accade con il Criterio del Rapporto. La dimostrazione di questo fatto esula dai limiti che ci poniamo per questi appunti. 3.7 Serie a termini di segno alternato Tornando ad esaminare serie i cui termini non hanno segno costante, c è un caso (molto particolare)perilqualesiriesceadottenereuncriteriodiconvergenzadiversodaquellochecoinvolge la convergenza assoluta (Teorema 3.7). Si tratta di serie del tipo ( ) n = a a 2 + a 3 a dove > 0perognin. Tutti i termini di indice dispari sono non-negativi, e quelli di indice pari sono non-positivi; sono dette serie a termini di segno alternato. Ovviamente la convergenza assoluta, cioè la convergenza di + P, implica la convergenza della + P ( ) n ; per ottenere la convergenza semplice vi èperò anche un altro criterio. Teorema 3.20 (Criterio di Leibniz) Sia { } una successione positiva, non-crescente e infinitesima, cioè: Allora la serie + P ( ) n converge. ) 0<+ per ogni n; ) lim =0. Inoltre, la differenza (in valore assoluto) tra la somma s e la somma parziale n-sima s n non supera il valore assoluto del primo termine trascurato, cioè: s s n + n. Dim. La successione {s 2n+ } delle somme parziali di indice dispari è non-crescente, perchè s 2n+ = s 2n (a 2n a 2n+ ) s 2n ; allo stesso modo si dimostra che {s 2n } è non-decrescente. Così

13 3.8. PROPRIETÀ COMMUTATIVA 49 s 2 s 4... s 2n s 2n+... s 3 s e questo mostra che le due successioni {s 2n+ } e {s 2n } sono monotòne e limitate, quindi convergenti. Inoltre s 2n+ s 2n = a 2n+ 0 e quindi {s 2n+ } e {s 2n } convergono, la prima per eccesso e la seconda per difetto, allo stesso limite s. Infine e 0 s s 2n s 2n+ s 2n = a 2n+ da cui segue la tesi. 0 s 2n+ s s 2n+ s 2n+2 = a 2n+2 Esempio 4 La serie + P ( ) n n converge, perchè n perciò giustificato quanto affermato nell Esempio 6. decresce monotonamente a 0. Abbiamo N 3.8 Proprietà commutativa In questo paragrafo ci occupiamo dei riordinamenti di una serie. Data la serie + P un suo riordinamento èlaserie + P b n che si ottiene rimescolando l ordine dei termini. Questo significa che tra i termini { } ed i termini {b n } vi è una corrispondenza biunivoca, ed è solo cambiato l ordine in cui compaiono. In modo più formale, esiste una corrispondenza biunivoca φ : N N tra gli indici, ed i termini delle serie sono legati dalla relazione b n = a φ(n). Siamo interessati a rispondere alla domanda: Per quali serie convergenti + P possiamo garantire che ogni riordinamento + P b n è ancora convergente e ha la stessa somma? Le serie per cui questo accade sono dette incondizionatamente convergenti. Senza dimostrazioni, riportiamo il più significativo risultato in questa direzione. Teorema 3.2 (Dirichlet) La serie + P è incondizionatamente convergente se e solo se è assolutamente convergente.

14 50 CAPITOLO 3. SERIE Segnaliamo che una della due implicazioni di questo teorema segue dall elegante Teorema 3.22 (Riemann) Sia + P una serie che converge semplicemente, mon assolutamente. Allora, comunque fissati α β +, la serie data ammette un riordinamento + P b n la cui successione delle somme parziali {t n } ammette α come limite inferiore e β come limite superiore.