Conversione tra le basi binarie

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1 Conversione tra le basi binarie In questa lezione impareremo la conversione tra binario e ottale la conversione tra binario ed esadecimale la conversione tra ottale ed esadecimale LEZIONE 10 Introduzione La conversione di un informazione da una base a un altra viene spesso utilizzata nei sistemi digitali e in questa lezione affronteremo casi particolari che permettono di sfruttare alcune proprietà matematiche per passare tra basi con caratteristiche comuni Il sistema binario utilizza due soli simboli per rappresentare l informazione, cioè a base b = 2 1 Oltre al sistema binario e decimale i sistemi usati per la rappresentazione dell informazione sono il sistema ottale e il sistema esadecimale: sistema binario: b = 2 1 = 2; sistema ottale: b = 2 3 = 8; sistema esadecimale: b = 2 4 = 16 Ricordiamo che in ogni caso nel calcolatore le informazioni sono codificate in binario Con la notazione B 1 B 2 indichiamo la conversione di base, cioè dobbiamo rappresentare ogni cifra della rappresentazione in base B 1 nella rappresentazione in base B 2 Tra i sistemi di numerazione appena elencati esiste un particolare legame tra le basi: sono tra loro legate dalla potenza, cioè la base ottale è terza potenza della base binaria e la base esadecimale è quarta potenza della base binaria Abbiamo quindi una relazione del tipo B a = B bk P Camagni, R Nikolassy TIC Office 2003 e Windows XP, Nuova Edizione OPENSCHOOL, Ulrico Hoepli Editore SpA

2 UdA 1 Il computer Base di partenza potenza della base di arrivo Quando tra la base B 1 e la base B 2 esiste la corrispondenza del tipo a = b k, cioè la base di partenza è una potenza k-esima della base di arrivo, ogni cifra della prima rappresentazione sarà composta da k cifre della seconda Quindi: tra base ottale e base binaria, cioè con B 1 = 8 e B 2 = 2, abbiamo k = 3 dato che 8 = 2 3 e quindi ogni cifra in base 8 può essere rappresentata in base B 2 con tre cifre; tra base esadecimale e base binaria, cioè con B 1 = 16 e B 2 = 2, abbiamo k = 4 dato che 16 = 2 4 e quindi ogni cifra in base 16 può essere rappresentata in base B 2 con quattro cifre Base di arrivo potenza della base di partenza Quando tra la base B 1 e la base B 2 esiste la corrispondenza del tipo b = a k, cioè la base di arrivo è una potenza k-esima della base di partenza, ogni cifra della seconda rappresentazione si ottiene raggruppando k cifre della prima Quindi: tra base binaria e base ottale, cioè con B1 = 2 e B2 = 8, abbiamo k = 3 dato che 8 = 23 e quindi ogni cifra in base 8 può essere ottenuta raggruppando le cifre binarie tre alla volta e convertendo ogni gruppo in una cifra ottale; tra base binaria e base esadecimale, cioè con B1 = 2 e B2 = 16, abbiamo k = 4 dato che 16 = 24 e quindi ogni cifra in base 16 può essere ottenuta raggruppando le cifre binarie quattro alla volta e convertendo ogni gruppo in una cifra ottale Conversione tra binari e ottali Il sistema ottale si basa sulla numerazione in base 8, quindi con b = 8, che utilizza i simboli Σ = {0,1,2,3,4,5,6,7} che corrispondono alle prime 8 cifre del sistema decimale: ogni numero è costituito da una stringa di cifre ottali il cui valore è determinato dal prodotto della cifra per una potenza della base, il cui esponente è dato dalla posizione della cifra nella stringa Viene usato principalmente come rappresentazione intermedia per la comunicazione con le macchine digitali in quanto, raggruppando terne di bit, è più vicino al sistema di numerazione decimale utilizzato dall uomo rispetto al binario utilizzato dalla macchina Nella tabella seguente riportiamo la codifica nelle tre basi ottale, decimale e binaria ottale decimale binaria Possiamo fare due osservazioni: la codifica ottale coincide con i primi otto elementi della codifica decimale; tutte le otto combinazioni sono codificate con stringhe di 3 bit, dato che 2 3 = 8 Eseguiamo ora la conversione tra le basi ottale e binaria 2 P Camagni, R Nikolassy TIC Office 2003 e Windows XP, Nuova Edizione OPENSCHOOL, Ulrico Hoepli Editore SpA 2014

3 Conversione tra le basi binarie Lezione 10 Da binario a ottale Per passare dalla codifica binaria a quella ottale raggruppiamo le cifre binarie a gruppi di 3 e sostituiamole con la corrispondente cifra del sistema ottale EsEmpIo Conversione di in ottale Convertiamo il numero binario Per prima cosa separiamo i bit a gruppi di 3: Convertiamo in ottale ogni gruppo di 3 cifre: = 6 8 e = 7 8 Quindi il numero ottale risultante è il seguente: = 67 8 Sinteticamente, si può effettuare l operazione con lo schema a lato EsEmpIo Conversione di in ottale Vediamo un secondo esempio, dove convertiamo il numero Schematicamente abbiamola situazione mostrata a lato: Quindi il risultato è = Effettua la conversione in ottale dei seguenti numeri binari: EsEmpIo Conversione di in ottale Vediamo come convertire il numero : in questo caso il numero binario è composto da 8 bit, quindi non è costituito da un multiplo di 3 Bisogna fare attenzione ad aggiungere a sinistra i bit mancanti, naturalmente con valore 0 Il numero da convertire diviene quindi il seguente , suddivisibile in tre ottetti: Quindi il risultato è = V P Camagni, R Nikolassy TIC Office 2003 e Windows XP, Nuova Edizione OPENSCHOOL, Ulrico Hoepli Editore SpA

4 UdA 1 Il computer Esempio Conversione di in ottale Vediamo un secondo esempio: convertiamo il numero Per prima cosa separiamo i bit a gruppi di tre partendo da destra: Quindi completiamo le terne aggiungendo a sinistra il numero di 0 mancanti, che in questo caso sono 2: Solo ora possiamo procedere con la conversione: Quindi il risultato è = V L errore tipico che si commette in questa situazione è quello di partire con la conversione da sinistra e aggiungere gli zeri mancanti a destra; per esempio nel caso precedente si otterrebbe: = Il risultato ottenuto è diverso dal precedente ed è sbagliato dato che <> Da ottale a binario Per passare dalla codifica ottale a quella binaria, a ogni cifra ottale sostituiamo la corrispondente cifra codificata in binario Esempio Conversione di 63 8 in binario Convertiamo il numero ottale 63 8 in binario, utilizzando lo schema nella figura: 6 3 Quindi il risultato è 63 8 = P Camagni, R Nikolassy TIC Office 2003 e Windows XP, Nuova Edizione OPENSCHOOL, Ulrico Hoepli Editore SpA 2014

5 Conversione tra le basi binarie Lezione 10 EsEmpIo Conversione di in binario Convertiamo il numero ottale in binario: Il risultato è = , dove eventualmente gli zeri a sinistra possono essere eliminati ottenendo = V Effettua la conversione in binario dei seguenti numeri: Conversione tra binari ed esadecimali Il sistema esadecimale si basa sulla numerazione in base 16, quindi con b = 16, che utilizza i simboli Σ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, dove ogni numero è costituito da una stringa di cifre esadecimale il cui valore è determinato dal prodotto della cifra per una potenza della base il cui esponente è dato dalla posizione della cifra nella stringa Nella tabella seguente riportiamo la codifica nelle tre basi esadecimale, decimale e binaria Essa viene usata come rappresentazione intermedia per la comunicazione con le macchine digitali in quanto, essendo ogni byte composto da 8 bit, viene suddiviso in due gruppi da 4 bit (nibble) e ciascuno di essi è codificato mediante il sistema esadecimale Esadecimale A 16 B 16 C 16 D 16 E 16 F 16 Decimale Binaria NoTAZIoNE per I NUmERI EsADECImALI Generalmente nei testi che trattano le macchine digitali la rappresentazione dei simboli numerici viene indicata senza specificare la base di rappresentazione e mentre in alcuni casi è evidente l individuazione della base per la presenza delle lettere alfabetiche come nei seguenti casi {1B, 9C, BA, 3FF, E12DFA}, in altri c è ambiguità quando contengono solo numerali come {12, 91, 172, 4354 ecc}: questi ultimi possono appartenere sia alla codifica decimale sia a quella esadecimale Per evitare confusione talvolta si trova il valore 39 in base esadecimale, scritto come 39 h oppure 0x39 P Camagni, R Nikolassy TIC Office 2003 e Windows XP, Nuova Edizione OPENSCHOOL, Ulrico Hoepli Editore SpA

6 UdA 1 Il computer Da binario a esadecimale Per passare dalla codifica binaria a quella esadecimale raggruppiamo le cifre binarie a gruppi di 4 e sostituiamole con la corrispondente cifra del sistema esadecimale EsEmpIo Conversione di in esadecimale Convertiamo il numero binario Per prima cosa separiamo i bit a gruppi di 4: Quindi a ogni gruppo sostituiamo la cifra ottale corrispondente, cioè convertiamo in esadecimale ogni gruppo di 4 cifre: = A h e = E h Il numero esadecimale risultante è il seguente: = AE h Sinteticamente si può effettuare l operazione con lo schema a lato, simile a quello utilizzato per la conversione in ottale: A E EsEmpIo Conversione di in esadecimale Convertiamo il numero binario Per prima cosa completiamo l ottetto aggiungendo due zeri: Il numero esadecimale risultante è il seguente: = 39 h Un singolo byte è sempre rappresentato da un numero esadecimale con due cifre, la prima per i quattro bit più significativi e la seconda per quelli meno significativi: 0x0B, 0xAB, 0x5E, 0xFF Effettua la conversione in esadecimale dei seguenti numeri: P Camagni, R Nikolassy TIC Office 2003 e Windows XP, Nuova Edizione OPENSCHOOL, Ulrico Hoepli Editore SpA 2014

7 Conversione tra le basi binarie Lezione 10 Come per la conversione da binario, fate attenzione quando aggiungete gli zeri e raggruppate i nibble: gli zeri si inseriscono sempre a sinistra Da esadecimale a binario Per passare dalla codifica esadecimale a quella binaria a ogni cifra esadecimale sostituiamo la corrispondente cifra codificata in binario EsEmpIo Conversione di 63 h in binario Convertiamo il numero esadecimale 63 h in binario, direttamente utilizzando lo schema a lato: Quindi il risultato è 63 h = ed eliminando il primo 0 si ottiene Vediamo un secondo esempio EsEmpIo Conversione di C8 h in binario Convertiamo il numero esadecimale C8 h in binario: Il risultato è C8 h = C Effettua la conversione in binario dei seguenti numeri: 1 1A h 2 2B h 3 3C h 4 F4 h Conversione tra ottali ed esadecimali Il metodo più veloce per passare dal sistema ottale all esadecimale o viceversa è quello di passare attraverso il sistema binario Vediamo alcuni esempi P Camagni, R Nikolassy TIC Office 2003 e Windows XP, Nuova Edizione OPENSCHOOL, Ulrico Hoepli Editore SpA

8 UdA 1 Il computer EsEmpIo Conversione di in esadecimale Convertiamo (352) 8 in esadecimale: V E A Quindi il risultato è (352) 8 = ( ) 2 da cui si ottiene (352) 8 = ( ) 2 = (EA) h Effettua la conversione in esadecimale dei seguenti numeri ottali: Conversione di 7C h in ottale Convertiamo (7C) h in ottale: 7 C EsEmpIo V Quindi (7C) h = ( ) 2 da cui si ottiene (7C) H = ( ) 2 = (174) 8 Effettua la conversione in esadecimale dei seguenti numeri esadecimali: 1 74 h 2 C3 h 3 19A h 4 73D h 8 P Camagni, R Nikolassy TIC Office 2003 e Windows XP, Nuova Edizione OPENSCHOOL, Ulrico Hoepli Editore SpA 2014

9 Conversione tra le basi binarie Lezione 10 ABBIAMO IMPARATO CHE Quando tra la base B 1 e la base B 2 esiste la corrispondenza del tipo a = b k, cioè la base di partenza è una potenza k-esima della base di arrivo, ogni cifra della prima rappresentazione sarà composta da k cifre della seconda Quando tra la base B 1 e la base B 2 esiste la corrispondenza del tipo b = a k, cioè la base di arrivo è una potenza k-esima della base di partenza, ogni cifra della seconda rappresentazione si ottiene raggruppando k cifre della prima Per passare dalla codifica binaria a quella ottale raggruppiamo le cifre binarie a gruppi di 3 e le sostituiamo con la corrispondente cifra del sistema ottale Per passare dalla codifica ottale a quella binaria a ogni cifra ottale sostituiamo la corrispondente cifra codificata in binario Per passare dalla codifica binaria a quella esadecimale raggruppiamo le cifre binarie a gruppi di 4 e le sostituiamo con la corrispondente cifra del sistema ottale Per passare dalla codifica esadecimale a quella binaria a ogni cifra ottale sostituiamo la corrispondente cifra codificata in binario P Camagni, R Nikolassy TIC Office 2003 e Windows XP, Nuova Edizione OPENSCHOOL, Ulrico Hoepli Editore SpA

10 UdA 1 Il computer Verifichiamo le competenze 1 Esegui le seguenti conversioni da binario ad ottale Esegui le seguenti conversioni da binario a ottale Esegui le seguenti conversioni da ottale a binario 12 8 = 34 8 = = 10 8 = 4 Esegui le seguenti conversioni da ottale a binario 21 8 _ _ _ _ _ _ 5 Esegui le seguenti conversioni da binario a esadecimale Esegui le seguenti conversioni da binario a esadecimale Esegui le seguenti conversioni da esadecimale a binario A7F 16 _ B4C 16 _ 27E 16 _ _ 8 Esegui le seguenti conversioni da esadecimale a binario 322 A31 F2B B38 9 Esegui le seguenti conversioni da ottale a esadecimale = h = h = h = h 10 Esegui le seguenti conversioni da esadecimale a ottale 27 h 18 h AB2 h 290 h 345 h 67FE h CD63 h 279B h C163 h E279 h 10 P Camagni, R Nikolassy TIC Office 2003 e Windows XP, Nuova Edizione OPENSCHOOL, Ulrico Hoepli Editore SpA 2014