Rappresentazione di informazioni con un alfabeto finito

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1 Rappresentazione di informazioni con un alfabeto finito Sia A = { a 1,, a k } un insieme (alfabeto) di k simboli, detti anche lettere. Quante sono le sequenze composte da n simboli (anche ripetuti) di A? n = 1: le sequenze sono k : a 1,, a k n = 2: le sequenze sono k 2 : a 1 a 1, a 1 a 2,, a 1 a k, a 2 a 1,, a 2 a k, a 3 a 1,..., a k a 1,, a k a k... Per un numero n generico, le sequenze sono k n. Le sequenze di n simboli sono anche dette parole di lunghezza n Esempio: generazione di sequenze binarie Ogni sequenza del diagramma genera due nuove sequenze appendendo uno 0 o un 1 in fondo alla sequenza. Quante lettere servono per rappresentare M simboli? Le sequenze (su un alfabeto di k simboli) di lunghezza n sono k n e possono rappresentare altrettanti simboli. Bisogna scegliere n tale che k n M. Se k n > M alcune sequenze non sono utilizzate. Ad esempio, se k = 2 e M = 57 allora n 6 perché 2 6 = 64 > = 2 5.

2 Il valore minimo di n necessario per rappresentare M simboli (con k lettere) è il più piccolo intero maggiore o uguale a log k M (logaritmo in base k di M) Esempio: Quanti simboli binari (0/1) servono per distinguere un oggetto (simbolo) tra M altri? Ne servono log 2 M, in base alla formula precedente. Tuttavia ci possiamo arrivare anche segundo un procedimento concettuale: Divido i simboli in due classi, ed assegno a ciscuna 1 o 0. Continuo ricorsivamente allʼinterno di ciascuna classe, fino a che tutte le classi contengono un solo elemento. Il simbolo contenuto nella classe singola viene associato alla sequenza di bit ottenuta ripercorrendo il processo fino alla prima suddivisione. Graficamente il procedimento può essere illustrato dal disegno dell'esempio precedente. Lʼassociazione tra il simbolo e la sequenza di bit prende il nome di codifica Rappresentazione delle informazioni con alfabeto binario Unità di informazione: il bit - due valori possibili (e.g. 0/1) Si rappresenta facilmente nei circuiti elettronici digitali pertanto: nei calcolatori elettronici le informazioni (di qualsiasi tipo) vengono rappresentate con sequenze di bit. I valori di un insieme X di dati saranno rappresentati da altrettante sequenze binarie di lunghezza opportuna. Sequenze binarie Le possibili sequenze di n bit sono 2 n, perché A = {0, 1}, ovvero A è un alfabeto di due simboli. Un byte è una sequenza di otto bit. Esistono 2 8 = 256 byte distinti. Di solito, per comodità, la lunghezza delle sequenze binarie si misura in byte anziché in bit. Poiché tutti i dati e le informazioni sono rappresentate come sequenze binarie, le loro dimensioni sono espresse in bit e/o byte. Unità di misura della lunghezza di sequenze

3 binarie 1 KB = 1 kilobyte = 1024 byte = 2 10 byte = bit = 2 13 bit, ( circa 1000 byte) 1 MB = 1 megabyte = 2 20 byte = 2 23 bit, (circa 1 milione di byte) 1 GB = 1 gigabyte = 2 30 byte = 2 33 bit, (circa 1miliardo di byte) 1 TB = 1 terabyte = 2 40 byte, (circa 1000 miliardi di byte) Rappresentazione dei dati Vediamo ora come si rappresentano numeri testi immagini audio video nella memoria di un calcolatore. Notazione posizionale Rappresentiamo un numero naturale usando dieci simboli, detti cifre decimali: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 scritti in sequenza: e. g., la sequenza 2047 rappresenta il numero duemilaquarantasette Lʼaggettivo posizionale sta a indicare il fatto che una cifra più a sinistra di unʼaltra ha una importanza/peso maggiore: nella sequenza 2047 = la cifra 2 indica due migliaia, la cifra 4 indica quattro decine. Cifra più significativa: cifra più a sinistra. Cifra meno significativa: cifra più a destra. La notazione posizionale si può applicare ad un alfabeto di B simboli, dove B 2 è detto la base della rappresentazione. La sequenza di n cifre rappresenta il numero b n-1 b n-2 b 1 b 0

4 dove b i < B, per ogni i < n. b n-1.b n-1 + b n-2.b n-2 + b 1.B 1 + b 0.B 0 Tale rappresentazione è unica: ogni numero è rappresentato da una sola sequenza di cifre. Esempi: base 2, 8, 16 Per rappresentare numeri usando basi diverse, si aggiunge un pedice (che indica la base) accanto alla cifra meno significativa. E. g., = Quando la base non è indicata, intenderemo la base 10. Base 2 (binaria), cifre 0, 1: = = = 13 Base 8 (ottale), cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7: = = = Base 16 (esadecimale), cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (le lettere corrispondono ai numeri 10, 11, 12, 13, 14, 15) FA1 16 = = = Conversioni di base Da una base B alla base 10: già visto. Dalla base 10 a una base B : algoritmo di conversione per divisione: N = N 1.B+b 0 (N 1 quoziente, b 0 resto della divisione di N per B) = (N 2.B+b 1 ).B+b 0 = N 2.B 2 +b 1.B+b 0 (N 2 quoziente, b 1 resto della divisione di N 1 per B)... = b n-1.b n-1 + b n-2.b n-2 + b 1.B 1 + b 0.B 0 Ecco alcuni esempi di conversione:

5 Conversione tra le basi 2, 8, 16 Il procedimento di conversione di un numero N dalla base 2 ad una base 2 n è più semplice. Non si eseguono divisioni, ma, a partire da destra, si raggruppano i bit di N a gruppi di n e si converte ciascun gruppo in una cifra della base 2 n = = = 7C = = = Il procedimento di conversione di un numero N dalla base 2 n alla base 2 si ottiene convertendo ogni cifra in base 2 n in una sequenza di n bit: FA1 16 = = =

6 Aritmetica in base 2, 8, 16 Per le sottrazioni si considerano i prestiti (borrow) invece dei riporti (carry) ; per eseguire delle moltiplicazioni bisogna conoscere le tabelline della base prescelta. Indovinello Domanda: perché i programmatori americani confondono Natale con Halloween? Risposta: perché Giustificate la risposta! Suggerimento: coinsiderate e DEC = 31 OCT Rappresentazione dei numeri Rappresentazione dei numeri naturali (unsigned numbers, numeri senza

7 segno) Si usa la rappresentazione binaria usando un numero fissato n di bit (di solito n = 8, 16, 32, 64) Così si rappresentano i numeri da 0 a 2 n - 1. Se unʼoperazione aritmetica genera un valore maggiore di 2 n - 1, si verifica un errore di supero (overflow), perché il numero ottenuto è troppo grande per essere rappresentato con n bit. Se n = 4 allora la somma =10010 genera un errore di overflow. Rappresentazione dei numeri interi Come per i numeri naturali, si usa la notazione binaria con n bit (n = 8, 16, 32). Una metà delle sequenze di n bit rappresenta numeri negativi, mentre lʼaltra numeri maggiori o uguali a zero. Il segno è determinato dal bit più significativo (bit di segno): 1 per valori negativi, 0 per valori positivi o zero. Esistono diverse rappresentazioni, e. g.: rappresentazione con modulo e segno complemento a 1, complemento a 2 Come nel caso dei numeri naturali si rappresenta un insieme finito di valori, per cui è possibile il manifestarsi di errori di overflow e underflow (il valore ottenuto è inferiore al valore minimo rappresentabile. Rappresentazione con modulo e segno: Con n bit si rappresentano i numeri interi da -(2 n-1-1) a 2 n-1 1. Il bit più significativo indica il segno: 0 = positivo, 1 = negativo, gli altri bit rappresentano il modulo (valore assoluto). Ad es., con n=3 si rappresentano i numeri da -3 a = 0, 001 = 1, 010 = 2, 011 = 3, 100 = 0, 101 = -1, 110 = -2, 111 = -3 Difetti: due rappresentazioni dello zero, il calcolo di operazioni aritmetiche deve tenere conto dei segni (macchinoso): nella pratica si usa il complemento a 2. Rappresentazione di numeri reali In realtà si rappresenta un insieme finito di numeri razionali, rappresentabili con un numero finito di cifre: rappresentazione in virgola fissa, ad es

8 rappresentazione in virgola mobile (floating point), detta anche rappresentazione con mantissa ed esponente, ad es = dove 19 è la mantissa, -3 è lʼesponente si possono rappresentare numeri molto grandi o molto piccoli, come la massa di un elettrone: Rappresentazione floating point nei calcolatori Si usa la base 2: mantissa ed esponente sono rappresentati in modulo e segno. Con 32 bit si usano: 2 bit per i segni di mantissa ed esponente, 20 bit per il modulo della mantissa, 10 bit per il modulo dellʼesponente, si usano anche 64 o 128 bit. Rappresentazione di un testo Un testo è una sequenza di caratteri: lettere dellʼalfabeto maiuscole e minuscole, cifre decimali, segni di punteggiatura, caratteri speciali come indicatori di fine riga o pagina, etc.. Si codifica ogni simbolo con un numero. Esistono diversi insiemi di simboli ASCII, UNICODE, EBCDIC e relative codifiche, che associano ad ogni simbolo un codice numerico. ASCII(American Standard Code for Information Interchange), usa 7 bit (inclusi in un byte con il bit più significativo a 0) per codificare un carattere. ASCII esteso (ad es. ISO/IEC ): 256 simboli, codifica anche simboli speciali (è, à, ü,...) quando il bit più significativo è 1. UNICODE: circa caratteri, tutti gli alfabeti. Si codifica in vari modi, la codifica più comune è UTF-8, che estende la codifica ASCII ed è a lunghezza variabile, da 1 a 4 byte per simbolo. Ad esempio, Il testo: ~mazzanti ha la seguente codifica ASCII a 7 bit (in decimale e in binario): ~ m a z z a n t i in ogni colonna della tabella è indicato un carattere di testo, la sua codifica ASCII in notazione decimale e in notazione binaria. La rappresentazione in memoria sarà pertanto

9 che si ottiene concatenando i byte della terza riga della tabella. Tabella codici ASCII Compressione dati Nel codificare l'informazione si vorrebbe anche cercare di impiegare meno bit possibile. Finora abbiamo associato una sequenza di bit di uguale lunghezza a ciascun simbolo. Se non tutti i smboli sono ugualmente frequenti (es. alfabeto) potremmo risparimare sui bit assegnando sequenze piu corte a simboli più frequenti. L'alfabeto Morse sfrutta questo principio: la lettera "E", molto frequente nell'inglese è associata al singolo punto, mentre lettere meno frequenti comela "Z" hanno un codice di 4 "bit". La formalizzazione di questa euristica prende il nome di codifica di Huffman. La compressione serve ad occupare meno spazio nella memoria di massa o a ridurre il tempo di trasmissione. Alle volte invece si vuole aumentare ad arte la lunghezza della codifica per introdurre ridondanza, che serve a tollerare possibili errori di lettura o trasmissione. Esempio semplice: il bit di parità.