Esempi ed esercizi Aritmetica degli elaboratori e algebra di commutazione

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1 Esempi ed esercizi Aritmetica degli elaboratori e algebra di commutazione Fondamenti di Informatica Michele Ceccarelli Università del Sannio ceccarelli@unisannio.it Angelo Ciaramella DMI-Università degli Studi di Salerno ciaram@unisa.it

2 Sommario Aritmetica dei calcolatori Algebra di commutazione e moduli combinatori

3 Aritmetica dei calcolatori Rappresentazione degli interi Conversioni di base Rappresentazione in complemento a due Somma e sottrazione Problemi di overflow Rappresentazione in virgola mobile (floating point representation) Conversioni di base Notazione scientifica Standard IEEE 754 Errori di arrotondamento nei dati e nei calcoli Il più piccolo numero rappresentabile Disastri attribuibili ad errori nella computazione numerica Esempi, esercizi

4 Algebra di commutazione e moduli combinatori Algebra di commutazione Funzioni di commutazione e tavole di verità Proprietà dell algebra booleana Forma normale e canonica SOP (POS) Connettivi AND, OR e NOT Espressione SOP minimale Moduli combinatori Codificatori e Decodificatori Memorie a sola lettura (ROM) e array logici programmabili (PLA) Multiplexer e Demultiplexer Esempi, esercizi

5 Rappresentazione dei numeri In generale dato un numero N, per la sua rappresentazione in base b, si usa una stringa di cifre tale che la rappresentazione posizionale risulta intero frazione N ( a a... a a a a ) n n 2 m b.... punto base mentre il valore di N è dato dalla formula N n i= m a i b i

6 Conversioni di base (interi) Due problemi sono importanti in relazione alla notazione binaria: A. ottenere la rappresentazione binaria di un dato valore N B. ottenere il valore di una rappresentazione binaria data Binario decimale Sostituzione: sostituzione di ciascuna delle cifre binarie diverse da zero nella rappresentazione di N con il suo peso rappresentato in decimale e somma dei termini risultanti Esempio N 2 N = x2 + x2 + x2 + x2 = 9

7 Conversioni di base (interi) Binario decimale Procedura: a. Porre S n = a n b. Per i = n, n 2,, calcolare S i = a i + 2 x S i+ c. Porre N = S Esempio N 2 MSB S 6 = S 5 = + 2x = 3 S 4 = + 2x3 = 6 S 3 = + 2x6 = 3 S 2 = + 2x3 = 26 S = + 2x26 = 52 S = + 2x52 = 5 = LSB N

8 Conversioni di base (interi) Decimale binario Procedura: a. Porre S = N b. Per i =,, n calcolare a i come resto e quoziente della divisione di S i per due (S i = 2 x S i- + a i ) Esempio N =5 S = 5 = 2x52 + S = 52 = 2x26 + S 2 = 26 = 2x3 + S 3 = 3 = 2x6 + S 4 = 6 = 2x3 + S 5 = 3 = 2x + S 6 = = 2x + stop LSB MSB

9 Complemento a due Il complemento a due ci permette di rappresentare i numeri interi relativi binari. Sequenza binaria a a... a a n n 2 Interi positivi Interi negativi n = 2 a i i= i A 2 con a = n n 2 n i 2 + i 2 i= A = a n a con a = n

10 Complemento a due Caratteristiche: Unica rappresentazione per lo zero Per i numeri negativi il bit di segno è sempre Facilità nel calcolare l opposto di un numero binario Facilità nel convertire un numero binario in complemento a due, rappresentato su n bit, nel medesimo numero su di più di n bit

11 Complemento a due Calcolo dell opposto di un numero binario. Complementare ogni bit della sequenza binaria 2. Sommare al risultato ottenuto Calcolo della somma di due numeri binari. Addendi sommati bit a bit dall LSB al MSB 2. Propagazione dei riporti alle cifre più significative, verso sinistra Calcolo della sottrazione di due numeri binari. Il sottraendo va trasformato nel suo opposto 2. Somma del sottraendo con il minuendo

12 Complemento a due (Esempio) Calcolare la somma e la sottrazione dei seguenti interi, usando 4 bit A = 6 B = 7 A 2 B 2 Addizione Sottrazione = = = = = = 7-6 Può accadere che la somma degli addendi abbia un valore troppo grande per essere rappresentato dal numero di bit (traboccamentooverflow).

13 Complemento a due (Esercizi) Effettuare le seguenti somme considerando l operando a 6 bit A=3 ; B= 23 A=3 ; B= 8 overflow A=-3 ; B= -23 A=-3 ; B= -8 A=25 ; B= -3 A = 3 ; B= -25

14 Esercizi (C2.) Scrivere il risultato della somma in complemento a due dei numeri e 28 su 6 bit (il 6 bit è quello del segno) ed indicare se si verifica overflow.

15 Esercizi (C2.) A=3 ; B= 23 = 3 = 2x6 + S = 6 = 2x3 + S 2 = 3 = 2x + S 3 = = 2x + S A (binario) = 23 = 2x + S = = 2x5 + S 2 = 5 = 2x2 + S B (binario) S 3 = 2 = 2x + = = 2x + A 2 B 2 Somma overflow = S 3-28 errato

16 Esercizi (C2.2) A= 3 ; B= 8 A 2 B (binario) S = 8 = 2x4 + S = 4 = 2x2 + S 2 = 2 = 2x + S 3 = = 2x + B 2 Somma overflow = 2 corretto

17 Esercizi (C2.3) A=-3 ; B= A 2 B 2 Somma overflow = 28 errato

18 Esercizi (C2.4) A=-3 ; B= -8 B (binario) S = 8 = 2x4 + S = 4 = 2x2 + S 2 = 2 = 2x + S 3 = = 2x + A 2 Somma B 2 overflow = -2 corretto

19 Esercizi (C2.5) A= 25 ; B= -3 (binario) A S = 25 = 2x2 + S = 2 = 2x6 + S 2 = 6 = 2x3 + S 3 = 3 = 2x + = = 2x + S 3 A 2 overflow = Somma B 2 2 corretto

20 Esercizi (C2.6) A= 3 ; B= -25 A 2 B 2 B 2 Somma overflow = -2 corretto

21 Esercizi (C2.7) L esame degli esercizi presentati conduce alla seguente regola per il rilevamento del traboccamento A B < Traboccamento se c n c n- = Sempre corretto Sempre corretto Traboccamento se c n c n- = < Dove c n e c n- sono rispettivamente il riporto del bit di overflow e quello di segno

22 Rappresentazione in virgola mobile La notazione scientifica è caratterizzata dall avere un unica cifra a sinistra della virgola. Un numero reale rappresentato in notazione scientifica che non presenti uno zero in testa è detto normalizzato. 9 x In binario la notazione scientifica normalizzata ha la seguente forma:. xxxxxxxxxx2 La notazione scientifica viene chiamata rappresentazione in virgola mobile (floating point representation) Vantaggi semplifica lo scambio di insiemi di dati contenenti numeri reali semplifica gli algoritmi per operazioni aritmetiche su numeri reali permette di aumentare la precisione con cui memorizzare numeri reali in in parole di dimensione prefissata yyyy

23 Rappresentazione in virgola mobile Rappresentazione in virgola mobile in uso nel linguaggio macchina del processore MIPS (float-singola precisione) s Esponente (E) parte frazionaria (F) bit 8 bit 23 bit s è il segno del numero ( negativo) esponente rappresenta il valore dell esponente (con segno) parte frazionaria rappresenta il valore delle cifre a destra della virgola (rappresentazione in modulo e segno) Rappresentazione ( ) S x F x 2 E

24 Algebra di commutazione Una funzione binaria di variabili binarie si dice funzione di commutazione. Un circuito o rete combinatoria è un sottosistema digitale che realizza una funzione di commutazione. Il modo convenzionale per descrivere una funzione di commutazione è tramite la tavola di verità Una espressione booleana ha queste caratteristiche: Le variabili e le costanti sono espressioni Se E ed E2 sono espressioni, lo sono anche i negati, E*E2 ed E + E2 descrive espressione Una rete combinatoria con ingressi assegnati realizza

25 Algebra di commutazione Le tecniche per la progettazione di reti combinatorie si basano sulle proprietà di un sistema chiamato algebra booleana Tavole di verità dei connettivi AND, OR e NOT x 2 x AND x2 x OR x NOT Connettivi

26 Algebra di commutazione Proprietà dell algebra di commutazione. x = x involuzione 2. x x 2 = x 2 x e x + x 2 = x 2 + x commutatività 3. x x = x x+x = x idempotenza 4. x = x x + = x 5. x = x + = 6. x x = x + x = complementarietà 7. x(x+y) = x x + xy = x assorbimento 8. x (y + z) = xy + yz x + yz = (x + y) (x + z) distribuitività 9. (xy)z=x(yz) (x+y) + z = x + (y + z) associatività. xy = x + y leggi di De Morgan x + y = x y

27 Algebra di commutazione Una espressione è in forma normale SOP (somma di prodotti) quando è l OR di AND di letterali. E in forma canonica se tutti i termini prodotto sono tutti mintermini (m i ) ( nella tvola di verità) Una espressione è in forma normale POS (prodotti di somme) quando è l AND di OR di letterali. E in forma canonica se tutti i termini somma sono tutti maxtermini (M i ) ( nella tavola di verità) Le tecniche di minimizzazione ci permettono di ottenere una espressione SOP normale minimale

28 Moduli combinatori Codificatori È un modulo con s linee di ingresso L,L 2,,L s ed n linee di uscita y n-,,y. A ciascuna linea di ingresso è associato un numero intero non nullo (l i f(i)). Un codificatore produce la codifica dell intero associato alla linea attiva. esempio input f(i) y 3 y 2 y y L 3 L 2 5 L 3 6 L 4 9 L 5 L 6 2 L 7 3 => a b c L L 2 L 3 L 4 L 5 L 6 L 7 a b c y 3 y 2 y y

29 Moduli combinatori Decodificatori È un modulo con n linee di ingresso x n-,,x ed s linee di uscita u,,u s. A ciascuna linea di uscita è associato un numero intero non nullo j. Un codificatore produce la codifica dell intero associato alla linea attiva. Decodificatore parallelo 2-a-4 a b c a b c u x x x x u u 2 u 3 u u u 2 u 3 Simbolo convenzionale

30 Moduli combinatori Se poniamo in cascata un decodificatore e un codificatore otteniamo un nuovo modulo, il transcodificatore. La nozione di transcodificatore può essere rapidamente estesa per generare le memorie a solo lettura (ROM) o gli array logici progammabili (PLA) ROM PLA Applicazione dell approccio ROM alla espressione minimale

31 Moduli combinatori (Esercizio ) Ricavare la tavola di verità Decodificatore 3 a 8 x x x 2 y 5 y 4 y 3 y 2 y

32 Moduli combinatori (Esercizio 2) Ricavare la tavola di verità