2.12 Esercizi risolti

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1 Codifica dell'informazione 55 Lo standard IEEE prevede cinque cause di eccezione aritmetica: underflow, overflow, divisione per zero, eccezione per inesattezza, e eccezione di invalidità. Le eccezioni di underflow, overflow, e divisione per zero, sono presenti anche in altri standard, mentre l eccezione per inesattezza è caratteristica dello standard IEEE e si verifica sia quando il risultato di un operazione deve essere arrotondato, sia quando l operazione incorre in un overflow Esercizi risolti 1) Convertire i numeri decimali 335 e 564 in base 2, in base 8 e in base 16 mostrando il risultato e tutti i passaggi svolti. Si consideri 335. Per la conversione in base 2 si ha: 335/2 = N 0 = 167 R 0 = 1 N 0 /2 = N 1 = 83 R 1 = 1 N 1 /2 = N 2 = 41 R 2 = 1 N 2 /2 = N 3 = 20 R 3 = 1 N 3 /2 = N 4 = 10 R 4 = 0 N 4 /2 = N 5 = 5 R 5 = 0 N 5 /2 = N 6 = 2 R 6 = 1 N 6 /2 = N 7 = 1 R 7 = 0 N 7 /2 = N 8 = 0 R 8 = 1 Pertanto risulta: (335) 10 = ( ) 2. Per la conversione in base 8 si ha: 335/8 = N 0 = 41 R 0 = 7 N 0 /8 = N 1 = 5 R 1 = 1 N 1 /8 = N 2 = 0 R 2 = 5 Il risultato è: (335) 10 = (517) 8. Per la conversione in base 16: 335/16 = N 0 = 20 R 0 = 15 N 0 /16 = N 1 = 1 R 1 = 4 N 1 /16 = N 2 = 0 R 2 = 1 Il risultato è: (335) 10 = (14F) 16 Si consideri ora 564. Per la conversione in base 2 si ha:

2 56 Capitolo 2 564/2 = N 0 = 282 R 0 = 0 N 0 /2 = N 1 = 141 R 1 = 0 N 1 /2 = N 2 = 70 R 2 = 1 N 2 /2 = N 3 = 35 R 3 = 0 N 3 /2 = N 4 = 17 R 4 = 1 N 4 /2 = N 5 = 8 R 5 = 1 N 5 /2 = N 6 = 4 R 6 = 0 N 6 /2 = N 7 = 2 R 7 = 0 N 7 /2 = N 8 = 1 R 8 = 0 N 8 /2 = N 9 = 0 R 9 =1 Pertanto risulta: (564) 10 = ( ) 2. Conversione in base 8: 564/8 = N 0 = 70 R 0 = 4 N 0 /8 = N 1 = 8 R 1 = 6 N 1 /8 = N 2 = 1 R 2 = 0 N 2 /8 = N 3 = 0 R 3 = 1 Il risultato è: (564) 10 = (1064) 8. Conversione in base 16: Il risultato è: (564) 10 = (234) /16 = N 0 = 35 R 0 = 4 N 0 /16 = N 1 = 2 R 1 = 3 N 1 /16 = N 2 = 0 R 2 = 2 2) Sia dato il numero decimale frazionario 465,375. Convertirlo in base 2 usando la notazione in virgola fissa, mostrando il risultato e tutti i passaggi svolti. Si effettui la conversione in base 2 della parte intera:

3 Codifica dell'informazione /2 = N 0 = 232 R 0 = 1 N 0 /2 = N 1 = 116 R 1 = 0 N 1 /2 = N 2 = 58 R 2 = 0 N 2 /2 = N 3 = 29 R 3 = 0 N 3 /2 = N 4 = 14 R 4 = 1 N 4 /2 = N 5 = 7 R 5 = 0 N 5 /2 = N 6 = 3 R 6 = 1 N 6 /2 = N 7 = 1 R 7 = 1 N 7 /2 = N 8 = 0 R 8 =1 Per la parte intera risulta: (465) 10 = ( ) 2 Si effettui la conversione in base 2 della parte frazionaria: Prodotti Parti intere 0,375*2 = 0,75 b -1 = 0 0,75*2 = 1,5 b -2 = 1 0,5*2 = 1 b -3 = 1 Per la parte frazionaria risulta: (0,375) 10 = (0,011) 2 Il risultato finale è: (465,375) 10 = ( ,011) 2 3) Sia dato il numero binario frazionario N 2 = ,101. Convertirlo in base 8, in base 16 e in base 10 mostrando i risultati e tutti i passaggi svolti. La conversione in base 8 si ottiene, per la parte intera, partendo dal bit più a destra e suddividendo il numero binario in gruppi di tre bit (aggiungendo a sinistra, se necessario, degli zeri) e, per la parte frazionaria, partendo dal bit più a sinistra e suddividendo il numero binario in gruppi di tre bit (aggiungendo a destra, se necessario, degli zeri): N 2 = ,101.Quindi per ogni gruppo di tre bit si sostituisce la corrispondente cifra ottale: N 8 = 560,5 Analogamente per la conversione in base 16 si opera su gruppi di quattro bit: N 2 = , 1010 ottenendo: N 16 = 170,A La conversione in base 10 si può ricavare a partire dalla rappresentazione binaria: N 10 = 1 * * * * * * * * * * * * 2-3 = 368,625 Oppure si può ricavare dalle rappresentazioni ottali o esadecimali: N 10 = 5 * * * * 8-1 = 368,625 N 10 = 1 * * * * 16-1 = 368,625 4) Siano date le seguenti coppie (a, b) di numeri interi con segno espressi nella rappresentazione decimale: (78, 26); ( 20, 14); ( 12, 24); (78, 82). Calcolare il risultato delle operazioni (a + b) e (a b) in aritmetica binaria tra numeri interi

4 58 Capitolo 2 con segno rappresentati in complemento a due su 8 bit. Indicare la presenza di un eventuale overflow. a = (78) 10 b = (26) 10 R a (78) 10 + b (26) 10 a+b (104) 10 R a (78) 10 + b ( 26) 10 a b (52) 10 a = (-20) 10 b = (14) 10 R a ( 20) 10 + b (14) 10 a+b ( 6) 10 a ( 20) 10 + b ( 14) 10 a b ( 34) 10 a = ( 12) 10 b = ( 24) 10 a ( 12) 10 + b ( 24) 10 a+b ( 36) 10 R a ( 12) 10 + b (24) 10 a b (12) 10 a = (78) 10 b = ( 82) 10 R a (78) 10 + b ( 82) 10 a+b ( 4) 10

5 Codifica dell'informazione 59 R a (78) 10 + b (82) 10 a b overflow 5) Si considerino i numeri interi con segno rappresentati in complemento a due su 8 bit. Si scriva la codifica binaria del numero positivo più grande rappresentabile e del numero negativo più piccolo rappresentabile. Si calcoli il risultato della somma binaria dei due numeri trovati (indicando il risultato anche in decimale). Il numero positivo più grande rappresentabile è: ( ) 2 = (127) 10 cioè (2 7 1). Il numero negativo più piccolo rappresentabile è: ( ) 2 = ( 128) 10 cioè ( 2 7 ) Si calcoli ora la somma ( ): R a (127) 10 + b ( 128) 10 a+b ( 1) 10 6) Calcolare il risultato delle seguenti operazioni binarie tra numeri interi con segno rappresentati in complemento a due su 8 bit (indicando la presenza di un eventuale overflow): ( ); ( ); ( ); ( ); ( ). Scrivere l equivalente rappresentazione dei numeri e del risultato anche in decimale. ( ): R a (13) 10 + b (61) 10 a+b (74) 10

6 60 Capitolo 2 ( ): R a (12) 10 + b ( 74) 10 a+b ( 62) 10 ( ): R a (20) 10 + b ( 111) 10 a+b ( 91) 10 ( ): a ( 12) 10 + b ( 24) 10 a+b ( 36) 10 ( ): R a (1) 10 + b ( 2) 10 a+b ( 1) 10 7) Siano date le seguenti coppie (a, b) di numeri binari su 8 bit: ( , ) e ( , ). Calcolare i risultati della somma (a + b) considerando gli operandi codificati rispettivamente come: - numeri interi positivi; - numeri interi con segno rappresentati in modulo e segno; - numeri interi con segno rappresentati in complemento a 1; - numeri interi con segno rappresentati in complemento a 2. Indicare la presenza di un eventuale overflow. ( , ): Considerando gli operandi numeri interi positivi rappresentati con 8 bit:

7 Codifica dell'informazione 61 a (245) 10 + b (234) 10 a+b overflow Considerando gli operandi numeri interi con segno rappresentati in modulo e segno con 8 bit, gli operandi risultano entrambi negativi ( 117, 106) 10. Si effettui la somma dei valori assoluti (rappresentati con 7 bit) degli operandi: R a (117) 10 + b (106) 10 a + b overflow Considerando gli operandi numeri interi con segno rappresentati in complemento a 1 con 8 bit, gli operandi risultano entrambi negativi ( 10, 21) 10. a ( 10) 10 + b ( 21) Sommando al risultato così ottenuto il riporto in uscita dal bit più significativo si ottiene il risultato finale: a+b ( 31) 10 Considerando gli operandi numeri interi con segno rappresentati in complemento a 2 con 8 bit: a ( 11) 10 + b ( 22) 10 a+b ( 33) 10 ( , ): Considerando gli operandi numeri interi positivi rappresentati con 8 bit: R a (202) 10 + b (76) 10 a+b overflow Considerando gli operandi numeri interi con segno rappresentati in modulo e segno con 8 bit, gli operandi risultano ( 74, +76) 10. Essendo gli operandi di segno discorde, occorre confrontare i valori assoluti (rappresentati con 7 bit) ed effettuare la sottrazione binaria tra il minuendo (76) 10 e il sottraendo (74) 10 tenendo conto dei prestiti:

8 62 Capitolo 2 P a (76) 10 b (74) 10 a b (2) 10 Premettendo il segno positivo al risultato si ottiene: Considerando gli operandi numeri interi con segno rappresentati in complemento a 1 con 8 bit: R a ( 53) 10 + b (+76) Sommando al risultato così ottenuto il riporto in uscita dal bit più significativo si ottiene il risultato finale: a+b (23) 10 Considerando gli operandi numeri interi con segno rappresentati in complemento a 2 con 8 bit: R a ( 54) 10 + b (76) 10 a+b (22) Esercizi proposti 1) Eseguire le seguenti conversioni di base: (523,1) 10 base 2 (523,1) 10 base 8 (101,11) 2 base 8 (101,11) 2 base 10 2) Dato che (79) 10 = (142) b, determinare il valore della base b. 3) Scrivere le tabelle relative ai seguenti codici decimali pesati: (7,4,2, 1) (4, 4, 1, 2) (8, 7, 4, 2) (7, 3, 1, 2) (8, 4, -3, 2) 4) Eseguire le seguenti sottrazioni usando l aritmetica in complemento a 2: (111000) (110011)

9 Codifica dell'informazione 63 ( ) (101110) ( ) ( ) ( ) ( ) 5) Dimostrare che la moltiplicazione di due numeri binari di n-bit in base b genera un prodotto su non più di 2n-bit. 6) Calcolare quozienti e resti delle seguenti divisioni, mostrando tutti i passi dell algoritmo di calcolo usato: (1101) / (0001) (1101) / (0010) (1101) / (0011) (1101) / (1100) 7) Assumendo che l esponente e sia nell intervallo 0 e X, con un bias pari a 9, che la base sia b, e che a mantissa sia composta da p-bit, determinare il più piccolo e il grande valore positivo esprimibile come numero in virgola mobile normalizzato. 8) Esprimere i seguenti numeri nel formato IEEE su 32-bit: ( 5) ( 6) ( 1,755) (484) (1 / 32) ( 1 / 32)