Algebra Condizioni di Esistenza Equazioni di secondo grado Scomposizione di un trinomio di secondo grado Definizione di valore assoluto

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1 Alger Condizioni di Esistenz n N x D x A(x) on n pri D x 0 A x 0 tn f(x) f x + k se f(x) f x + k log A x B(x) A x > 0 A x B x > 0 f x α f x 0 on α > 0 irrz. f x α f x > 0 on α < 0 irrz. f x g x f x > 0 ose f(x) f x k otn f(x) f x k ros f(x) f x rsin f(x) f x Non hnno prtiolri ondizioni: f x 3 f x f x os f x sin f x f x rtn f(x) Equzioni di seondo grdo Δ = 4 x + x + = 0 Se Δ > 0: due soluzioni distinte x, = ± 4 Se Δ = 0: due soluzioni oinidenti x, = Se Δ < 0: equzione impossiile Somposizione di un trinomio di seondo grdo Se Δ > 0: Se Δ = 0: x + x + = (x x )(x x ) x + x + = x x (il trinomio è un qudrto) Se Δ < 0: x + x + non si può somporre in R Definizione di vlore ssoluto A x se A x 0 A x = A x se A x < 0

2 Equzioni e disequzioni on un vlore ssoluto Soritoie A x = k A x = k A x = k A x > k A x < k A x > k A x < k k < A x < k Cso generle A x B x A x 0 A x B(x) A x < 0 A x B(x) Teorem d oro Elevndo entrmi i memri di un equzione o disequzione d un esponente dispri si ottiene un equzione o disequzione equivlente. Elevndo entrmi i memri di un equzione o disequzione d un esponente pri si ottiene un equzione o disequzione equivlente solo se entrmi i memri sono positivi o nulli. Teorem d rgento Estrendo un rdie d indie dispri di entrmi i memri di un equzione o disequzione si ottiene un equzione o disequzione equivlente. Estrendo un rdie d indie pri di entrmi i memri di un equzione o disequzione si ottiene un equzione o disequzione equivlente solo se entrmi i memri sono positivi o nulli. Attenzione i moduli: se n è pri, A n x Equzioni e disequzioni irrzionli on rdii qudrte n = A x. A(x) = B x A x 0 B x 0 A x = B (x) A(x) > B x B x 0 A x > B (x) B x < 0 A x 0 A(x) < B x A x 0 B x 0 A x < B (x)

3 Geometri Anliti Lunghezz di un segmento di estremi A(X A, Y A ) e B(X B, Y B ) Y B B AB = (X B X A ) + (Y B Y A ) Y A A X A X B Cso prtiolre: il segmento è orizzontle CD = X D X C Cso prtiolre: il segmento è vertile Y C Y D C D Y F Y E F E EF = Y F Y E X C X D X E X F Punto medio di un segmento di estremi A(X A, Y A ) e B(X B, Y B ) Y B Y M M B X M = X A + X B Y M = Y A + Y B Y A A X A X M X B Coeffiiente ngolre di un segmento di estremi A(X A, Y A ) e B(X B, Y B ) Y B B m AB = y x = Y B Y A X B X A Y A A x y X A X B Equzione dell rett Equzione impliit: x + y + = 0 r k r Equzione espliit: y = mx + q y Cso prtiolre: rett orizzontle Cso prtiolre: rett vertile y = k x = h q x m = y x r Due rette sono prllele se e solo se m = m h Due rette sono perpendiolri se e solo se m = m Distnz del punto P(X P, Y P ) dll rett r: x + y + = 0 P d(p, r) = X P + Y P + + r

4 Equzione dell rett dti due punti di pssggio A(X A, Y A ) e B(X B, Y B ) x X A X B X A = y Y A Y B Y A Equzione dell rett dto il oeffiiente ngolre m e un punto di pssggio P(X P, Y P ) y Y P = m(x X P ) Equzione dell ironferenz x + y + x + y + = 0 rppresent un ironferenz se + 0 C, r = + Y C C X C Equzione di un ironferenz dto il entro C X C, Y C e il rggio r (x X C ) + (y Y C ) = r Equzione dell prol Prol on sse vertile: y = x + x + V, 4 FV = 4 Y F F F, d: y = 4 4 Y V V X F X V d Prol on sse orizzontle: V, 4 x = y + y + FV = 4 Y F Y V d V F F, d: y = 4 4 X V X F Due prole sono ongruenti se e solo se = C Are di un segmento prolio D B r A = 3 A ABCD A

5 Equzione dell ellisse Ellisse oi fuohi sull sse x x + y = on > Ellisse oi fuohi sull sse y x + y = on > ost = V (, 0) V (, 0) ost = V (, 0) V (, 0) 0 e = < V 3 (0, ) V 4 (0, ) 0 e = < V 3 (0, ) V 4 (0, ) = + F (, 0) F (, 0) = + F (0, ) F (0, ) Equzione dell iperole riferit i propri ssi di simmetri Iperole oi fuohi sull sse x x y = Iperole oi fuohi sull sse y x + y = ost = V (, 0) V (, 0) ost = V (0, ) V (0, ) e = > F (, 0) F (, 0) e = > F (0, ) F (0, ) = + sintoti: y = ± x = + sintoti: y = ± x Un iperole si die equilter se e solo se i suoi sintoti sono perpendiolri se e solo se i suoi sintoti sono le isettrii y = ±x se e solo se = Equzione di ellissi o iperoli trslte on entro nel punto P(X P, Y P ) ± x X P ± y Y P = Y P P X P

6 Equzione dell iperole equilter riferit i propri sintoti y = k x y = k x k on k > 0 k on k < 0 k k Equzione dell funzione omogrfi y = x + x + d on 0 e d d Altre urve importnti y = x y = x y = x 4

7 Prinipli funzioni goniometrihe Goniometri e Trigonometri R os(α) = X P sin(α) = Y P y = S α P T Q tn(α) = Y T se(α) = os α = X Q 0 ose(α) = sin α = Y R C: x + y = x = otn(α) = os α sin α = X S Prim proprietà fondmentle os x + sin x = Seond proprietà fondmentle Rdinte tn x = sin x os x Un rdinte è l mpiezz dell ngolo l entro di un ironferenz he sottende un ro di ironferenz vente l stess lunghezz del rggio. rd 57,3 Vle l seguente proporzione tr l misur in grdi e in rdinti di uno stesso ngolo α: α α rd = 80 rd r r Lunghezz dell ro e re del settore irolre α l = r α S = r S α r l Relzione tr ngolo e oeffiiente ngolre di un rett tn α = Δy Δx = m α Δx Δy

8 Funzioni goniometrihe dei prinipli ngoli seno tngente otngente oseno

9 Grfio dell funzione Coseno y = os(x) D = R CoD = [,] Grfio dell funzione Seno y = sin(x) D = R CoD = [,] Grfio dell funzione Tngente y = tn(x) D = R + k CoD = R

10 Grfio dell funzione Sente y = se(x) D = R + k CoD = ],, + [ Grfio dell funzione Cosente y = ose(x) D = R k CoD = ],, + [ Grfio dell funzione Cotngente y = otn(x) D = R k CoD = R

11 Grfio dell funzione Arooseno y = ros(x) 0 D = [,] CoD = [0, ] Grfio dell funzione Aroseno y = rsin(x) 0 D = [,] CoD =, Grfio dell funzione Arotngente y = rtn(x) 0 D = R CoD =,

12 Formule di ddizione e sottrzione os α + β os α β sin α + β sin α β = os α os β sin α sin β = os α os β + sin α sin β = sin α os β + os α sin β = sin α os β os α sin β Formule di duplizione os α = os α sin α = os α = sin α Formule di isezione tn α + β = tn α β = tn α + tn β tn α tn β tn α tn β + tn α tn β sin α = sin α os α tn α = tn α tn α os α = ± + os α sin α = ± os α tn α = sin α + os α Formule per l ssmento di grdo os α = + os α sin α = os α os α sin α = sin α Formule prmetrihe os α = t t + t sin α = + t dove t = tn α Tringoli rettngoli os α = t. diente ipotenus sin α = t. opposto ipotenus tn α = t. opposto t. diente α β os α = sin β sin α = os β Are di un tringolo qulunque A = sin γ γ

13 Teorem del oseno = + os α α Teorem del seno sin α = sin β α β Teorem dell ord = r sin α α Corde notevoli e rispettivi ngoli ll ironferenz r 3 r r Tringolo equiltero Qudrto Esgono regolre

14 Proprietà delle potenze ) m n = m+n ) m : n = m n 3) n n = n 4) n : n = : n 5) m n = m n Esponenzili e logritmi Grfio dell funzione esponenzile y = x > y = x 0 < < Definizione di logritmo Il logritmo in se di è quel numero ui v elevto per ottenere. = log = Proprietà dei logritmi ) log + log = log ( + ) ) log log = log (: ) 3) n log = log n 4) log = log log 5) log = log n n 3) log = log 4) log log = log 4) log = 5) log = log log Grfio dell funzione logritmi y = log x > y = log x 0 < <

15 Formul per equzioni e disequzioni esponenzili = log Esempio: x = x = log x = log Formul per equzioni e disequzioni logritmihe = log Esempio: log x = log x = log x = Teorem per le disequzioni esponenzili Sino, x, x R e si >. Allor: Sino, x, x R e si 0 < <. Allor: x < x x < x x < x x > x Teorem per le disequzioni logritmihe Sino, x, x R e si >. Allor: Sino, x, x R e si 0 < <. Allor: log x < log x x < x log x < log x x > x

16 Geometri nello spzio Operzioni on i vettori Sino dti due vettori v = Modulo di un vettore v v e w = w w w 3, e k R. v = v + v + Addizione e sottrzione v + w = v v + w w w 3 = v + w v + w + w 3 w w v w = Se v w : v v w w w 3 = v + w = v + w v w v w w 3 v v w Se v w : v + w = v + w Prodotto per uno slre k v = k k v = k v v v = k v k v k v k v Due vettori sono prlleli se e solo se esiste k R 0 tle he v = k w Prodotto slre v w = v v v w = v w os α w w w 3 = v w + v w + w 3 w v Due vettori sono perpendiolri se e solo se v w = 0 (è il prodotto tr l lunghezz di un vettore e l lunghezz dell proiezione dell ltro vettore su di esso) α Prodotto vettorile v w = v v w w w 3 = v w = v w sin α v w 3 w w v w 3 v w v w Due vettori sono prlleli se e solo se v w = 0 (è un vettore di intensità pri ll re del prllelogrmm generto di due vettori e perpendiolre d esso - regol mno dx) Lunghezz di un segmento di estremi A e B v w w α v AB = (X B X A ) + (Y B Y A ) + (Z B Z A ) = B A Se il segmento è prllelo ll sse x: AB = X B X A Se il segmento è prllelo ll sse y: AB = Y B Y A Se il segmento è prllelo ll sse z: AB = Z B Z A

17 Punto medio di un segmento di estremi A e B X M = X A + X B Y M = Y A + Y B Z M = Z A + Z B Equzione del pino Equzione rtesin x + y + z + d = 0 Equzione vettorile x y z = X P Y P Z P + v v, Equzione prmetri x = X P + sv + tw y = Y P + sv + tw z = Z P + s + tw 3 w w w 3 n P w v Se il pino è perpendiolre ll sse x: x = k Se il pino è perpendiolre ll sse y: y = k Se il pino è perpendiolre ll sse z: z = k D equzione rtesin prmetri: porre due vriili rispettivmente uguli s e t, rivre x, y e z. D equzione prmetri rtesin: rivre s e t e sostituirli nell terz equzione del sistem. Vettore normle l pino: n = Equzione del pino dti un punto P e due genertori v e w : x y z = X P Y P Z P + Equzione del pino dti tre punti P, Q e R Sino v = Q P w = R P : x y z = v v, X P Y P Z P + w w w 3 v v, w w w 3 Equzione del pino dti un punto P e il vettore normle n(,, ) : x + y + z + d = 0 (dove d viene determinto imponendo il pssggio per P) Perpendiolrità e prllelismo tr pini Due pini sono perpendiolri se e solo se lo sono i loro vettori normli. Due pini sono prlleli se e solo se lo sono i loro vettori normli. Vettore perpendiolre due vettori v e w Metodo Metodo n = v w Rivre il vettore n normle d un pino generto d v e w. Vettori perpendiolri un vettore n Rivre i vettori genertori di un pino vente vettore normle n (esistono infinite soluzioni).

18 Distnz di un punto P d un pino : x + y + z + d = 0 d(p, ) = X P + Y P + Z P + d + + P Equzione dell rett Equzione rtesin x + y + z + d = 0 x + y + z + d = 0 Equzione vettorile x y z = X P Y P Z P + v v P v Equzione prmetri x = X P + tv y = Y P + tv z = Z P + t D equzione rtesin prmetri: porre un vriile ugule t, rivre x, y e z. D equzione prmetri rtesin: rivre t e sostituirl nelle ltre equzioni del sistem. Equzione dell rett dti un punto P e il genertore v r: x y = X P Y P v v z Z P + Equzione dell rett dti due punti P e Q x Si v = Q P r: y = z X P Y P Z P + v v Equzione dell rett dti un punto P e il pino perpendiolre x X P n Si n l normle l pino r: y = Y P n z Z P + n 3 Perpendiolrità e prllelismo tr pini Due rette sono perpendiolri se e solo se lo sono i loro vettori genertori. Due rette sono prllele se e solo se lo sono i loro vettori genertori. Distnz di un punto P d un rett r Determinre H, il punto dell rett di minim distnz d r: è il punto di intersezione tr r e il pino pssnte per P e perpendiolre r. d(p, r) = PH Equzione dell superfiie sferi Equzione espliit: x X C + y Y C + z Z C = r Equzione espliit: x + y + z + x + y + z + d = 0 H P + + d 0 C,, r = + + d se

19 Equzione del ilindro di rggio r x + y = r (sse: sse z) y + z = r (sse: sse y) z + x = r (sse: sse x) Equzione del ono x + y = k z (sse: sse z) y + z = k x (sse: sse y) z + x = k y (sse: sse x) Equzione dell ellissoide x + y + z = Equzione del proloide ellittio x + y = z y + z (sse: sse z) = x z (sse: sse y) + x = y (sse: sse x) Equzione del proloide iperolio (sell) ± x y = (sse: sse z) ± y z = (sse: sse y) ± z x = (sse: sse x) Equzione dell iperoloide un fld + x + y z = (sse: sse z) + x y + z = (sse: sse y) x + y + z = (sse: sse x) Equzione dell iperoloide un fld x y + z = (sse: sse z) x + y z = (sse: sse y) + x y z = (sse: sse x)

20 Teorem delle tre perpendiolri Se dl piede di un perpendiolre d un pino si mnd l perpendiolre un qulunque rett del pino, quest ultim risult perpendiolre l pino delle prime due. r σ t r s t t σ s Prinipio di Cvlieri Due solidi he possono essere disposti in modo he ogni pino prllelo d uno dto li tgli seondo sezioni equivlenti, sono equivlenti. Proporzioni tr solidi Se due solidi Γ e Γ sono simili: S : S = l l V : V = l 3 l 3 Superfii e volumi dei prinipli solidi Prism S = S B + S L V = S B h Cilindro S = S B + S L = r + rh V = S B h Cono S = S B + S L = r + r V = 3 S B h Pirmide S = S B + S L V = 3 S B h Sfer S = 4r V = 4 3 r3 Solidi pltonii Tetredro 4 tr. equilteri 4 vertii Esedro 6 qudrti 8 vertii Ottedro 8 tr. equilteri 6 vertii Dodeedro pentgoni 0 vertii Iosedro 0 tr. equilteri vertii