Esercizi d esame di Teoria dei Giochi

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1 Esercizi d esame di Teoria dei Giochi Dario Bauso Esempio Svolto Dato il seguente gioco a due giocatori a somma zero si calcolino P P il loss ceiling J,. il gain floor J, 3. l equilibrio di Nash nelle strategie pure (i, j ),. l equilibrio di Nash nelle strategie miste (y, z ), 5. il valore medio del payoff all equilibrio.. Esistono strategie pure dominanti? Svolgimento 1. Calcolo del loss ceiling. Il loss ceiling è associato alla strategia conservativa del minimizzatore P 1 : i = arg min max a ij = arg min{, 3} =, i j i da cui si ha J = 3.. Calcolo del gain floor. Il gain floor è associato alla strategia conservativa del massimizzatore P : j = arg max min a ij = arg max{ 3, 0} =, j i j da cui si ha J = 0. 1

2 3. Calcolo NE nelle strategie pure. Dato che loss ceiling e gain floor non coincidono, i.e., J < a i j J allora non esiste equilibrio di Nash nelle strategie pure y z Figure 1: ATTENZIONE: i numeri che compaiono in questa e nelle figure successive sono approssimati. Calcolo NE nelle strategie miste. Sia (y 1, y ) la strategia mista di P 1 dove y 1 e y sono rispettivamente le probabilità con cui P 1 sceglie i = 1 e i =. Analogamente sia (z 1, z ) la strategia mista di P dove z 1 e z sono rispettivamente le probabilità con cui P sceglie j = 1 e j =. Il valore medio del gioco si calcola come somma pesata di ciascun payoff a ij moltiplicato la probabilità con cui P 1 giocherà i e la probabilità con cui P giocherà j, i.e., = a ij y i z j = y T Az. i j Nota che y pesa le righe e z pesa le colonne. Calcolo strategia conservativa di P 1. Si supponga che P giochi (z 1 = 1, z = 0). Si tracci l andamento del valore medio del gioco = y T Az = y 1 3y,

3 al variare della strategia mista y di P 1. La curva risultante è il segmento che unisce il punto con il punto 3. Analogamente si supponga che P giochi (z 1 = 0, z = 1). Si tracci l andamento del valore medio del gioco = y T Az = 0y 1 + 3y al variare della strategia mista y di P 1. La curva risultante è il segmento che unisce il punto 0 con il punto 3. L inviluppo superiore (lineare a tratti) indica il valore medio del gioco al variare della strategia mista y di P 1, i.e., max y T Az = max z 1 (y 1 3y ) + z (0y 1 + 3y ). z z 1,z La strategia mista conservativa di P 1 si ottiene minimizzando il caso peggiore, i.e., y = arg min y max y T Az z che nella fattispecie è il minimo dell inviluppo superiore, y = (0.9, 0.51). In pratica si ottiene dall intersezione dei due segmenti = y 1 3y e = 0y 1 + 3y, i.e., (1 y ) 3y = 0(1 y ) + 3y Calcolo strategia conservativa di P. Si supponga che P 1 giochi (y 1 = 1, y = 0). Si tracci l andamento del valore medio del gioco = y T Az = z 1 + 0z, al variare della strategia mista z di P. La curva risultante è il segmento che unisce il punto con il punto 0. Analogamente si supponga che P 1 giochi (y 1 = 0, y = 1). Si tracci l andamento del valore medio del gioco = y T Az = 3z 1 + 3z al variare della strategia mista z di P. La curva risultante è il segmento che unisce il punto 3 con il punto 3. L inviluppo inferiore (lineare a tratti) indica il valore medio del gioco al variare della strategia mista z di P, i.e., min y y T Az = min y 1 (z 1 + 0z ) + y ( 3z 1 + 3z ). y 1,y 3

4 La strategia mista conservativa di P si ottiene massimizzando il caso peggiore, i.e., z = arg max min z y y T Az che nella fattispecie è il massimo dell inviluppo inferiore, z = (0., 0.7). In pratica si ottiene dall intersezione dei due segmenti = z 1 +0z e = 3z 1 + 3z, i.e., (1 z ) + 0z = 3(1 z ) + 3z. 5. Calcolo valore medio del gioco. Il valore medio del payoff = y T Az = 1.5 all equilibrio.. Esistono strategie pure dominanti? NO. Impostazione del problema di PL Dato il seguente gioco a due giocatori a somma zero si imposti il problema di PL che risolve il gioco nelle strategie miste. P P La strategia mista y T = [y 1 y y 3 ] di P 1 appartiene al simplesso in R 3 3 Y = {y R 3 : y i = 1, y i 0, i = 1,..., 3.} i=1 La strategia mista z T = [z 1 z z 3 z ] di P appartiene al simplesso in R Z = {z R : z j = 1, z j 0, j = 1,...,.} j=1 Nel punto sella accade che entrambi i giocatori giocano conservativi e il valore medio del gioco è = min y Y max z Z yt Az = max z Z min y Y yt Az Funzione obiettivo per P 1 : Si ponga v 1 (y) = max z Z y T Az e allora min v 1(y) y Y

5 Vincoli: vale la relazione trasponendo si ha v 1 (y) = max z Z yt Az y T Az z Z. z T A T y v 1 (y) = [z 1 z z 3 z ] y 1 3y + y 3 0y 1 + 3y + 1y 3 5y 1 y + y 3 y 1 + 3y + y 3 v 1(y) da cui ponendo ỹ = y v 1 (y) y 1 3y + y 3 0y 1 + 3y + 1y 3 5y 1 y + y 3 y 1 + 3y + y 3 ỹ 1 3ỹ + ỹ 3 0ỹ 1 + 3ỹ + 1ỹ 3 5ỹ 1 ỹ + ỹ 3 ỹ 1 + 3ỹ + ỹ 3 v 1 (y) v 1 (y) v 1 (y) v 1 (y) minimizzare v 1 (y) corrisponde a massimizzare ỹ 1 + ỹ + ỹ 3, quindi problema di PL diventa max ỹ 1 + ỹ + ỹ 3 ỹ 1 3ỹ + ỹ 3 0ỹ 1 + 3ỹ + 1ỹ 3 5ỹ 1 ỹ + ỹ 3 ỹ 1 + 3ỹ + ỹ 3 ỹ 1 0, ỹ 0, ỹ analogamente per P si ottiene il duale min z 1 + z + z 3 + z z z + 5 z 3 + z 3 z z z z z z + z 3 + z z 1 0, z 0, z 3 0, z

6 Esercizio n.1 Dato il seguente gioco a due giocatori a somma zero si calcolino P P il loss ceiling J,. il gain floor J, 3. l equilibrio di Nash nelle strategie pure (i, j ),. l equilibrio di Nash nelle strategie miste (y, z ), 5. il valore medio del payoff all equilibrio.. Esistono strategie pure dominanti? Esercizio n. Dato il seguente gioco a due giocatori a somma zero si calcolino P P il loss ceiling J,. il gain floor J, 3. l equilibrio di Nash nelle strategie pure (i, j ),. l equilibrio di Nash nelle strategie miste (y, z ), 5. il valore medio del payoff all equilibrio.. Esistono strategie pure dominanti?

7 Esercizio n.3 Dato il seguente gioco a due giocatori a somma zero si calcolino P P il loss ceiling J,. il gain floor J, 3. l equilibrio di Nash nelle strategie pure (i, j ),. l equilibrio di Nash nelle strategie miste (y, z ), 5. il valore medio del payoff all equilibrio.. Esistono strategie pure dominanti? Esercizio n. Dato il seguente gioco a due giocatori a somma zero si calcolino P P il loss ceiling J,. il gain floor J, 3. l equilibrio di Nash nelle strategie pure (i, j ),. l equilibrio di Nash nelle strategie miste (y, z ), 5. il valore medio del payoff all equilibrio.. Esistono strategie pure dominanti? 7

8 Esercizio n.5 Dato il seguente gioco a due giocatori a somma zero si calcolino P P il loss ceiling J,. il gain floor J, 3. l equilibrio di Nash nelle strategie pure (i, j ),. l equilibrio di Nash nelle strategie miste (y, z ), 5. il valore medio del payoff all equilibrio.. Esistono strategie pure dominanti? Esercizio n. Dato il seguente gioco a due giocatori a somma zero si calcolino P P il loss ceiling J,. il gain floor J, 3. l equilibrio di Nash nelle strategie pure (i, j ),. l equilibrio di Nash nelle strategie miste (y, z ), 5. il valore medio del payoff all equilibrio.. Esistono strategie pure dominanti?

9 Esercizio n.7 Due paesi vicini che si servono della stessa rete di approviggionamento idrico possono evitare i danni di ricorrenti alla probabile rottura delle condutture che ciascuno valuta in 5 mila euro attuando un intervento di manutenzione delle stesse. Il costo totale dell intervento di 1 mila euro, se entrambi attuano l intervento pagano metà per ciascuno, se lo attua uno solo sostiene l intero costo. Ciascun paese deve quindi decidere se attuare l intervento di Manutenzione (M) o meno (NM); se entrambi decidono di attuare l intervento ciascuno ricava un beneficio di 5 mila euro a fronte di un costo di 10 mila euro: il beneficio netto di 15 mila euro. Viceversa, se entrambi decidono di non attuare l intervento, sia il beneficio che il costo sono pari a 0 per entrambi. Se invece un paese decide di attuare l intervento e l altro no, entrambi hanno un beneficio di 5 mila euro dalla realizzazione dell intervento, mentre solo il primo paese sostiene un costo (pari al totale dell intervento, 1 mila euro). (a) Rappresentate la matrice dei guadagni netti dei due paesi considerando le loro due possibili strategie. (b) Spiegate il significato di strategia dominante; esistono strategie dominanti nel gioco descritto? (c) Spiegate il significato di equilibrio di Nash per un gioco. Nel gioco descritto, quanti (nessuno, uno, due) e quali sono gli equilibri di Nash? Motivate la vostra risposta. (d) Spiegate il significato di soluzione Pareto ottima per un gioco. Gli eventuali equilibri trovati sono Pareto ottimi? (e) Spiegate il significato di equilibrio Stackelberg per un gioco. Nel gioco descritto, quali sono gli equilibri di Stackelberg con P 1 leader e P follower, e con P leader e P 1 follower? Esercizio n. Due aziende manifatturiere possono decidere di mettere sul mercato una quantità piccola (P ) o grande (G) di un certo prodotto. Se le compagnie non si accordano e entrambe mettono sul mercato il prodotto in grande quantità i profitti di ciascuna sono 1000 euro; se si accordano per tenere il prezzo elevato e mettono una quantità piccola di prodotto sul mercato i profitti di ciascuna salgono a 1500 euro. Se una delle compagnie mette il prodotto in grande quantità e l altra in piccola quantità, la compagnia con maggiore quantità avrà profitti per 100 euro, mentre la compangnia con minore quantità avrà profitti per 00 euro. (a) Rappresentate la matrice dei guadagni netti delle due aziende considerando le loro due possibili strategie. (b) Spiegate il significato di strategia dominante; esistono strategie dominanti nel gioco descritto? 9

10 (c) Spiegate il significato di equilibrio di Nash per un gioco. Nel gioco descritto, quanti (nessuno, uno, due) e quali sono gli equilibri di Nash? Motivate la vostra risposta. (d) Spiegate il significato di soluzione Pareto ottima per un gioco. Gli eventuali equilibri trovati sono Pareto ottimi? (e) Spiegate il significato di equilibrio Stackelberg per un gioco. Nel gioco descritto, quali sono gli equilibri di Stackelberg con P 1 leader e P follower, e con P leader e P 1 follower? Esercizio n.9 Le imprese 1 e producono automobili. Ciascuna pu scegliere se produrre un automobile di grossa cilindrata (GC) o un utilitaria (U). Se entrambe le imprese producono macchine di grossa cilindrata allora ciascuna ha un profitto pari a 00 mila euro. Se entrambe le imprese producono utilitarie allora ciascuna ha un profitto pari a 500 mila euro. Se una impresa produce utilitarie e l altra automobili di grossa cilindrata allora la prima ha un profitto di 1000 mila euro mentre la seconda di 00 mila euro. Supponete che ogni impresa debba decidere quale tipo di automobile produrre senza conoscere le scelte della concorrente. Le scelte sono simultanee. (a) Rappresentate la matrice dei guadagni netti delle due imprese considerando le loro due possibili strategie. (b) Spiegate il significato di strategia dominante; esistono strategie dominanti nel gioco descritto? (c) Spiegate il significato di equilibrio di Nash per un gioco. Nel gioco descritto, quanti (nessuno, uno, due) e quali sono gli equilibri di Nash? Motivate la vostra risposta. (d) Spiegate il significato di soluzione Pareto ottima per un gioco. Gli eventuali equilibri trovati sono Pareto ottimi? (e) Spiegate il significato di equilibrio Stackelberg per un gioco. Nel gioco descritto, quali sono gli equilibri di Stackelberg con P 1 leader e P follower, e con P leader e P 1 follower? Esercizio n.10 (Battaglia dei Sessi) Due fidanzati, Carlo e Camilla, desiderano trascorrere il pomeriggio insieme e possono scegliere se andare allo stadio (S) o a fare Compere (C). Ovviamente Carlo preferisce andare allo stadio mentre Camilla preferisce fare shopping. In particolare, se entrambi vanno allo stadio allora Carlo è contentissimo (livello di contentezza pari a due) mentre Camilla è normale (livello di contentezza pari a uno). Viceversa se entrambi vanno a fare shopping allora Camilla è 10

11 contentissima (livello di contentezza pari a due) mentre Carlo è normale (livello di contentezza pari a uno). Infine se entrambi decidono di trascorrere separatamente il pomeriggio, ad esempio Carlo va allo stadio e Camilla a fare shopping o viceversa, allora entrambi rimangono scontenti (livello di contentezza pari a zero) (a) Rappresentate la matrice dei livelli di contentezza dei due fidanzati considerando le loro due possibili scelte. (b) Spiegate il significato di strategia dominante; esistono strategie dominanti nel gioco descritto? (c) Spiegate il significato di equilibrio di Nash per un gioco. Nel gioco descritto, quanti (nessuno, uno, due) e quali sono gli equilibri di Nash? Motivate la vostra risposta. (d) Spiegate il significato di soluzione Pareto ottima per un gioco. Gli eventuali equilibri trovati sono Pareto ottimi? (e) Spiegate il significato di equilibrio Stackelberg per un gioco. Nel gioco descritto, quali sono gli equilibri di Stackelberg con P 1 leader e P follower, e con P leader e P 1 follower? Esercizio n.11 (Gioco di Coordinazione) Due fidanzati, Carlo e Camilla, desiderano trascorrere il pomeriggio insieme e possono scegliere se andare a sentire un concerto di Mozart (Mz) o di Mahler (Mh). Questa volta entrambi hanno una leggere preferenza per Mozart (livello di preferenza pari a due) sebbene anche Mahler non è male (livello di preferenza pari a uno) purchè si vada allo stesso concerto. Se però i due si decidessero ad andare a due concerti diversi, allora il livello di preferenza sarebbe nullo indipendentemente che si trattasse di Mozart o Mahler. (a) Rappresentate la matrice dei livelli di preferenza dei due fidanzati considerando le loro due possibili scelte. (b) Spiegate il significato di strategia dominante; esistono strategie dominanti nel gioco descritto? (c) Spiegate il significato di equilibrio di Nash per un gioco. Nel gioco descritto, quanti (nessuno, uno, due) e quali sono gli equilibri di Nash? Motivate la vostra risposta. (d) Spiegate il significato di soluzione Pareto ottima per un gioco. Gli eventuali equilibri trovati sono Pareto ottimi? (e) Spiegate il significato di equilibrio Stackelberg per un gioco. Nel gioco descritto, quali sono gli equilibri di Stackelberg con P 1 leader e P follower, e con P leader e P 1 follower? 11

12 Esercizio n.1 Dato il seguente gioco a due giocatori a somma zero si calcolino P P il loss ceiling J,. il gain floor J, 3. l equilibrio di Nash nelle strategie pure (i, j ),. l equilibrio di Nash nelle strategie miste (y, z ), 5. il valore medio del payoff all equilibrio.. Esistono strategie pure dominanti? Esercizio n.13 Dato il seguente gioco a due giocatori a somma zero si calcolino P P il loss ceiling J,. il gain floor J, 3. l equilibrio di Nash nelle strategie pure (i, j ),. l equilibrio di Nash nelle strategie miste (y, z ), 5. il valore medio del payoff all equilibrio.. Esistono strategie pure dominanti? 1

13 Esercizio n.1 Un quadro è posto all asta tra due concorrenti, i quali fanno simultaneamente la loro offerta (in busta chiusa). Supponete che il concorrente ha un desiderio maggiore di aggiudicarsi il quadro rispetto al concorrente 1. Infatti il concorrente 1 stima il valore del quadro pari a 000 euro mentre il concorrente pari a 000 euro. Nel fare la propria offerta il concorrente 1 può adottare un comportamento aggressivo offrendo più di quanto egli stima il valore del quadro, ad esempio 3000 euro; in alternativa può decidere di adottare un comportamento non aggressivo (NA) e offrire meno di quanto egli stima il valore del quadro, ad esempio 1000 euro. Analogamente il concorrente può adottare un comportamento aggressivo offrendo, ad esempio 5000 euro, o non aggressivo (N A) offrendo soltanto 000 euro. Se un concorrente vince l asta il suo guadagno netto è dato dal valore del quadro meno l offerta da pagare. (a) Rappresentate la matrice dei guadagni netti dei due concorrenti considerando le loro due possibili strategie. (b) Spiegate il significato di strategia dominante; esistono strategie dominanti nel gioco descritto? (c) Spiegate il significato di equilibrio di Nash per un gioco. Nel gioco descritto, quanti (nessuno, uno, due) e quali sono gli equilibri di Nash? Motivate la vostra risposta. (d) Spiegate il significato di soluzione Pareto ottima per un gioco. Gli eventuali equilibri trovati sono Pareto ottimi? (e) Spiegate il significato di equilibrio Stackelberg per un gioco. Nel gioco descritto, quali sono gli equilibri di Stackelberg con P 1 leader e P follower, e con P leader e P 1 follower? Esercizio n.15 Al termine delle due prove in itinere il professore propone allo studente un voto pari a. Lo studente può scegliere se fare l orale (O) o non farlo (NO) e accettare il voto, mentre il professore può decidere, nel caso in cui l orale andasse male, se abbassare il voto allo studente o confermare il voto dello scritto (C). Se lo studente decide di fare l orale (O) e il professore nel caso peggiore conferma il voto dello scritto (C) allora lo studente mediamente prenderà (valor medio tra 30 se risponde bene e se risponde male); il professore spende però 0 minuti ovvero la durata dell esame orale. Se lo studente sceglie di non fare l orale (N O) e il professore sceglie, nel caso peggiore, di confermare il voto dello scritto (C), allora lo studente accetta il e il professore non spende tempo per l orale (tempo speso per l orale pari a zero). Se il professore decide di abbassare il voto nel caso in cui l orale andasse male, lo studente impiega almeno dieci minuti di tempo per riflettere sulla scelta da prendere; se fa l orale (O) si attende un voto medio pari a (valore medio tra 30 se risponde bene 13

14 e 1 se non risponde) mentre se non fa l orale (NO) ovviamente accetta il. Di fronte alla possibilità di essere penalizzato lo studente impiega 10 min per riflettere sulla scelta da fare; il professore quindi spende il tempo di attesa che lo studente si decida (10 min), ed eventualmente il tempo di durata dell orale (0 min). (a) Rappresentate la bimatrice del tempo speso dal prof (tempi in negativo, ovvero spendere un ora implica un payoff pari a 0) e del voto medio dello studente considerando le loro due possibili strategie. (b) Spiegate il significato di strategia dominante; esistono strategie dominanti nel gioco descritto? (c) Spiegate il significato di equilibrio di Nash per un gioco. Nel gioco descritto, quanti (nessuno, uno, due) e quali sono gli equilibri di Nash? Motivate la vostra risposta. (d) Spiegate il significato di soluzione Pareto ottima per un gioco. Gli eventuali equilibri trovati sono Pareto ottimi? (e) Spiegate il significato di equilibrio Stackelberg per un gioco. Nel gioco descritto, quali sono gli equilibri di Stackelberg con P 1 leader e P follower, e con P leader e P 1 follower? 1

15 Soluzione n y z 1. J = 7,. J =, 3. non esiste. Punto sella in corrispondenza a y = [ ], z = [ ], 5. =.5.. No. 15

16 Soluzione n y z 1. J =,. J = 1, 3. non esiste. Punto sella in corrispondenza a y = [ ], z = [ ], 5. = 1... No. 1

17 Soluzione n y z 1. J =,. J = 5, 3. non esiste. Punto sella in corrispondenza a y = [0.1 0.], z = [ ], 5. = No. 17

18 Soluzione n y z 1. J =,. J =, 3. non esiste. Punto sella in corrispondenza a y = [ ], z = [0.5 0.], 5. =... No. 1

19 Soluzione n y z 1. J =,. J =, 3. (i, j ) = (, ). Punto sella in corrispondenza a y = [0 1], e 0.5 z 1, 5. =.. Si. j = dominante per P. 19

20 Soluzione n y z J =,. J =, 3. (i, j ) = (, ). Punto sella in corrispondenza a y = [0 1], e y = [1 0], 5. =.. Si. j = dominante per P. 0

21 Soluzione n.7 (a) Matrice dei guadagni netti P P 1 M NM M (1,1) (7,5) NM (5,7) (0,0) (b) Una strategia dominante è una scelta buona almeno tanto quanto ogni altra scelta, qualunque sia la scelta degli avversari. Il gioco in esame non ha strategie dominanti. (c) Un equilibrio di Nash è un risultato (outcome) per cui tutti i giocatori scelgono in modo ottimo per fissata strategia degli avversari. Ogni deviazione unilaterale dall equilibrio non apporta alcun vantaggio a nessuno dei giocatori. Nel gioco descritto vi sono due equilibri di Nash: (M, NM): se P 1 si scosta dall equilibrio scegliendo NM al posto di M guadagna 0 invece di 7, mentre se P sceglie M al posto di NM guadagna 1 invece di 5. (NM, M): se P 1 si scosta dall equilibrio scegliendo M invece di NM guadagna 1 invece di 5, mentre se P sceglie NM al posto di M guadagna 0 invece di 7. (d) Una soluzione è Pareto ottima se non ne esiste un altra che sia migliore per entrambi/tutti i giocatori. Nel gioco descritto entrambi gli equilibri sono Pareto ottimi. A partire da un equilibrio nessun accordo può condurre a una soluzione migliore per entrambi i paesi. (e) Un equilibrio Stackelberg è una soluzione per cui il leader annuncia e mantiene nel tempo una strategia e nel fare ciò tiene in considerazione la reazione del/i follower. Per il gioco descritto l equilibrio Stackelberg con P 1 leader è SE 1 = (NM, M). Infatti se P 1 giocasse M allora P giocherebbe NM e P 1 guadagnerebbe 7, mentre se P 1 giocasse NM allora P giocherebbe M e P 1 guadagnerebbe 5. Conseguentemente P 1 sceglie NM. L equilibrio Stackelberg con P leader è SE = (M, NM). Infatti se P giocasse M allora P 1 giocherebbe M e P guadagnerebbe 7, mentre se P giocasse NM allora P 1 giocherebbe M e P guadagnerebbe 5. Conseguentemente P sceglie NM. 1

22 Soluzione n. (a) Matrice dei guadagni netti P P 1 P G P (1500,1500) (00,100) G (100,00) (1000,1000) (b) Una strategia dominante è una scelta buona almeno tanto quanto ogni altra scelta, qualunque sia la scelta degli avversari. La strategia G è dominante per entrambe le aziende. (c) Un equilibrio di Nash è un risultato (outcome) per cui tutti i giocatori scelgono in modo ottimo per fissata strategia degli avversari. Ogni deviazione unilaterale dall equilibrio non apporta alcun vantaggio a nessuno dei giocatori. Nel gioco descritto vi è un equilibrio di Nash: (G, G): se P 1 si scosta dall equilibrio scegliendo P al posto di G guadagna 00 invece di 1000, analogamente se P sceglie P al posto di G guadagna 00 invece di (d) Una soluzione è Pareto ottima se non ne esiste un altra che sia migliore per entrambi/tutti i giocatori. Nel gioco descritto l equilibrio non è Pareto ottimo, infatti le aziende si possono accordare per scegliere (P, P ) aumentando il loro guadagno da 1000 a (e) Un equilibrio Stackelberg è una soluzione per cui il leader annuncia e mantiene nel tempo una strategia e nel fare ciò tiene in considerazione la reazione del/i follower. Per il gioco descritto l equilibrio Stackelberg con P 1 leader è SE 1 = (G, G). Infatti se P 1 giocasse P allora P giocherebbe G e P 1 guadagnerebbe 00, mentre se P 1 giocasse G allora P giocherebbe sempre G e P 1 guadagnerebbe Conseguentemente P 1 sceglie G. L equilibrio Stackelberg con P leader è SE = SE 1 = (G, G). Infatti se P giocasse P allora P 1 giocherebbe G e P guadagnerebbe 00, mentre se P giocasse G allora P 1 giocherebbe G e P guadagnerebbe Conseguentemente P sceglie G.

23 Soluzione n.9 (a) Matrice dei guadagni netti P P 1 GC U GC (00,00) (00,1000) U (1000,00) (500,500) (b) Una strategia dominante è una scelta buona almeno tanto quanto ogni altra scelta, qualunque sia la scelta degli avversari. Il gioco non ammette strategie dominanti. (c) Un equilibrio di Nash è un risultato (outcome) per cui tutti i giocatori scelgono in modo ottimo per fissata strategia degli avversari. Ogni deviazione unilaterale dall equilibrio non apporta alcun vantaggio a nessuno dei giocatori. Nel gioco descritto vi sono due equilibri di Nash: (U, GC): se P 1 si scosta dall equilibrio scegliendo GC al posto di U guadagna 00 invece di 1000, analogamente se P sceglie U al posto di GC guadagna 500 invece di 00. (GC, U): se P 1 si scosta dall equilibrio scegliendo U al posto di GC guadagna 500 invece di 00, analogamente se P sceglie GC al posto di U guadagna 00 invece di (d) Una soluzione è Pareto ottima se non ne esiste un altra che sia migliore per entrambi/tutti i giocatori. Nel gioco descritto entrambi gli equilibri sono Pareto ottimi, Nel gioco descritto entrambi gli equilibri sono Pareto ottimi. A partire da un equilibrio nessun accordo può condurre a una soluzione migliore per entrambi i paesi. (e) Un equilibrio Stackelberg è una soluzione per cui il leader annuncia e mantiene nel tempo una strategia e nel fare ciò tiene in considerazione la reazione del/i follower. Per il gioco descritto l equilibrio Stackelberg con P 1 leader è SE 1 = (U, GC). Infatti se P 1 giocasse GC allora P giocherebbe U e P 1 guadagnerebbe 00, mentre se P 1 giocasse U allora P giocherebbe GC e P 1 guadagnerebbe Pertanto P 1 sceglie U. L equilibrio Stackelberg con P leader è SE = (GC, U). Infatti se P giocasse P allora P 1 giocherebbe G e P guadagnerebbe 00, mentre se P giocasse G allora P 1 giocherebbe G e P guadagnerebbe Conseguentemente P sceglie U. 3

24 Soluzione n.10 (Battaglia dei Sessi) (a) Matrice dei livelli di contentezza Carlo Camilla S C S (,1) (0,0) C (0,0) (1,) (b) Una strategia dominante è una scelta buona almeno tanto quanto ogni altra scelta, qualunque sia la scelta degli avversari. Il gioco non ammette strategie dominanti. (c) Un equilibrio di Nash è un risultato (outcome) per cui tutti i giocatori scelgono in modo ottimo per fissata strategia degli avversari. Ogni deviazione unilaterale dall equilibrio non apporta alcun vantaggio a nessuno dei giocatori. Nel gioco descritto vi sono due equilibri di Nash: (S, S): se P 1 si scosta dall equilibrio scegliendo C al posto di S guadagna 0 invece di, analogamente se P sceglie C al posto di S guadagna 0 invece di 1. (C, C): se P 1 si scosta dall equilibrio scegliendo S al posto di C guadagna 0 invece di 1, analogamente se P sceglie S al posto di C guadagna 0 invece di. (d) Una soluzione è Pareto ottima se non ne esiste un altra che sia migliore per entrambi/tutti i giocatori. Nel gioco descritto entrambi gli equilibri sono Pareto ottimi. A partire da un equilibrio nessun accordo può condurre a una soluzione migliore per entrambi i fidanzati. (e) Un equilibrio Stackelberg è una soluzione per cui il leader annuncia e mantiene nel tempo una strategia e nel fare ciò tiene in considerazione la reazione del/i follower. Per il gioco descritto l equilibrio Stackelberg con P 1 leader è SE 1 = (S, S) (Carlo sa che Camilla è gelosissima e non lo lascerebbe mai andare allo stadio da solo). Infatti se P 1 giocasse S allora P giocherebbe S e P 1 guadagnerebbe, mentre se P 1 giocasse C allora P giocherebbe C e P 1 guadagnerebbe 1. Pertanto P 1 sceglie S. L equilibrio Stackelberg con P leader è SE = (C, C) (Camilla sa che Carlo è gelosissimo e non la lascerebbe mai andare allo stadio da sola). Infatti se P giocasse S allora P 1 giocherebbe S e P guadagnerebbe 1, mentre se P giocasse C allora P 1 giocherebbe C e P guadagnerebbe. Conseguentemente P sceglie C.

25 Soluzione n.11 (Gioco di Coordinazione) (a) Matrice dei livelli di preferenza Carlo Camilla Mozart Mahler Mozart (,) (0,0) Mahler (0,0) (1,1) (b) Una strategia dominante è una scelta buona almeno tanto quanto ogni altra scelta, qualunque sia la scelta degli avversari. Il gioco non ammette strategie dominanti. (c) Un equilibrio di Nash è un risultato (outcome) per cui tutti i giocatori scelgono in modo ottimo per fissata strategia degli avversari. Ogni deviazione unilaterale dall equilibrio non apporta alcun vantaggio a nessuno dei giocatori. Nel gioco descritto vi sono due equilibri di Nash: (Mozart, Mozart): se P 1 si scosta dall equilibrio scegliendo Mahler al posto di Mozart guadagna 0 invece di, analogamente se P sceglie Mahler al posto di Mozart guadagna 0 invece di. (Mahler, Mahler): se P 1 si scosta dall equilibrio scegliendo Mozart al posto di Mahler guadagna 0 invece di 1, analogamente se P sceglie Mozart al posto di Mahler guadagna 0 invece di 1. (d) Una soluzione è Pareto ottima se non ne esiste un altra che sia migliore per entrambi/tutti i giocatori. Nel gioco descritto l equilibrio (M ozart, M ozart) è Pareto ottimo mentre l equilibrio (Mahler, Mahler) non lo è. Infatti, a partire dall equilibrio (Mahler, Mahler) non Pareto ottimo, Carlo e Camilla possono optare per una soluzione più gradevole per entrambi. (e) Un equilibrio Stackelberg è una soluzione per cui il leader annuncia e mantiene nel tempo una strategia e nel fare ciò tiene in considerazione la reazione del/i follower. Per il gioco descritto l equilibrio Stackelberg con Carlo leader è SE 1 = (Mozart, Mozart) (Carlo sa che anche Camilla preferisce Mozart). Infatti se Carlo scegliesse M ozart allora Camilla sceglierebbe M ozart e Carlo guadagnerebbe, mentre se Carlo scegliesse M ahler allora Camilla sceglierebbe M ahler e Carlo guadagnerebbe 1. Pertanto Carlo sceglie M ozart. L equilibrio Stackelberg con Camilla leader è SE = (Mozart, Mozart) (Camilla sa che anche Carlo preferisce Mozart). Infatti se Camilla scegliesse M ozart allora Carlo sceglierebbe M ozart e Camilla guadagnerebbe, mentre se Camilla scegliesse M ahler allora Carlo sceglierebbe M ahler e Camilla guadagnerebbe 1. Conseguentemente Camilla sceglie M ozart. 5

26 Soluzione n y z 1. J = 3,. J = 3, 3. Non esiste.. Punto sella in corrispondenza a y = [ ], z = [0. 0.3], 5. = No.

27 Soluzione n y z 1. J = 3,. J = 3, 3. (i, j ) = (1, 1). Punto sella in corrispondenza a y = [1 0], z = [1 0], 5. = 3.. Si, i = 1 è dominante per P 1. 7

28 Soluzione n.1 (a) Matrice dei guadagni netti P P 1 A NA A (0, 1000) ( 1000, 0) NA (0, 1000) (0, 000) (b) Una strategia dominante è una scelta buona almeno tanto quanto ogni altra scelta, qualunque sia la scelta degli avversari. La strategia (NA) è dominante sia per P 1 che per P. (c) Un equilibrio di Nash è un risultato (outcome) per cui tutti i giocatori scelgono in modo ottimo per fissata strategia degli avversari. Ogni deviazione unilaterale dall equilibrio non apporta alcun vantaggio a nessuno dei giocatori. Nel gioco descritto vi è un solo equilibrio di Nash: (NA, NA): se P 1 si scosta dall equilibrio scegliendo A al posto di NA guadagna 1000 invece di 0, mentre se P sceglie A al posto di NA guadagna 1000 invece di 000. (d) Una soluzione è Pareto ottima se non ne esiste un altra che sia migliore per entrambi/tutti i giocatori. Nel gioco descritto l equilibrio è Pareto ottimo. A partire dall equilibrio nessun accordo può condurre a una soluzione migliore per entrambi i concorrenti. (e) Un equilibrio Stackelberg è una soluzione per cui il leader annuncia e mantiene nel tempo una strategia e nel fare ciò tiene in considerazione la reazione del/i follower. Per il gioco descritto l equilibrio Stackelberg con P 1 leader è SE 1 = (NA, NA). Infatti se P 1 giocasse A allora P giocherebbe NA e P 1 guadagnerebbe 1000, mentre se P 1 giocasse NA allora P giocherebbe NA e P 1 guadagnerebbe 0. Conseguentemente P 1 sceglie NA. L equilibrio Stackelberg con P leader é SE = (NA, NA). Infatti se P giocasse A allora P 1 giocherebbe indifferentemente A o NA e P guadagnerebbe in entrambi i casi 1000, mentre se P giocasse NA allora P 1 giocherebbe NA e P guadagnerebbe 000. Conseguentemente P sceglie NA.

29 Soluzione n.15 (a) Matrice dei guadagni netti P rofessore Studente O NO C (-0,) (0,) A (-70,) (-10,) (b) Una strategia dominante è una scelta buona almeno tanto quanto ogni altra scelta, qualunque sia la scelta degli avversari. La strategia C é dominante per il professore. (c) Un equilibrio di Nash è un risultato (outcome) per cui tutti i giocatori scelgono in modo ottimo per fissata strategia degli avversari. Ogni deviazione unilaterale dall equilibrio non apporta alcun vantaggio a nessuno dei giocatori. Nel gioco descritto vi è un equilibrio di Nash: (C, O): se il professore si scosta dall equilibrio scegliendo A al posto di C guadagna 70 invece di 0, analogamente se lo studente sceglie NO al posto di O guadagna invece di. (d) Una soluzione è Pareto ottima se non ne esiste un altra che sia migliore per entrambi/tutti i giocatori. Nel gioco descritto l equilibrio è Pareto ottimo, infatti A partire dall equilibrio nessun accordo può condurre a una soluzione migliore per entrambi i giocatori. (e) Un equilibrio Stackelberg è una soluzione per cui il leader annuncia e mantiene nel tempo una strategia e nel fare ciò tiene in considerazione la reazione del/i follower. Per il gioco descritto l equilibrio Stackelberg con P 1 leader è SE 1 = (A, NO). Infatti se P 1 giocasse C allora P giocherebbe O e P 1 guadagnerebbe 0, mentre se P 1 giocasse A allora P giocherebbe NO e P 1 guadagnerebbe 10. Conseguentemente P 1 sceglie A. L equilibrio Stackelberg con P leader è SE = (C, O). Infatti se P giocasse O allora P 1 giocherebbe C e P guadagnerebbe, mentre se P giocasse NO allora P 1 giocherebbe C e P guadagnerebbe. Conseguentemente P sceglie O. 9