3. 1. Capitolo 4. Reti logiche. Logica e Reti logiche. Il modello strutturale delle reti logiche. 4.1 Funzioni, espressioni e schemi logici

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1 Cpitolo 4 Reti logiche 4 - Funzioni, espressioni e schemi logici 42 - Alger di commutzione 43 - Fmiglie logiche 4 Funzioni, espressioni e schemi logici Tutti gli uomini sono mortli 2 Socrte è un uomo Logic e Reti logiche 3 Socrte è mortle Rete logic -Modello mtemtico che ssume come primitive lcune semplici modlità di elorzione di segnli inri e deduce d queste in modo rigoroso qule struttur soddisf un dto comportmento, qule comportmento h un dt struttur Il modello strutturle delle reti logiche Configurzioni di n it che codificno i simoli di un insieme I i i n Configurzioni di k it che codificno i simoli di un insieme S Rete logic sequenzile sincron retrozioni con FF D y y k F: I S U G: I S S memori memori Y Y k Rete logic sequenzile sincron retrozioni dirette u u m Configurzioni di m it che codificno i simoli di un insieme U Configurzioni di k it che codificno i simoli di un insieme S Rete logic comintori nessun retrozione 3

2 Rete logic comintori Struttur & Comportmento di un rete logic comintori i i n F: I U sistem di m funzioni di n vriili inrie u = F (i,, i n ) u m = F m (i,, i n ) Rete logic comintori - I vlori dei segnli d uscit dipendono solo di vlori contempornei dei segnli d ingresso Tell dell verità x x 2 x 3 x n z= F(x,, x n ) Espressione operzioni logiche porte logiche sintesi nlisi x x 2 x 3 x n Struttur comintori G 3 G 2 z G G k Descrizione mtemtic del comportmento delle reti comintorie Vriili inrie: indipendenti e dipendenti Funzioni oolene: complete e incomplete Operzioni logiche: simoli e regole Espressioni logiche: funzioni e schemi Funzioni oolene 3 2

3 Funzioni di vriili inrie Funzione complet di n vriili inrie z = F(x, x 2,, x n ) Insieme di 2 n coppie ordinte {x, z x B n, z B} formte d un configurzione di vlori delle vriili indipendenti x i e dl corrispondente vlore dell vriile dipendente z Il numero di distinte funzioni di n vriili inrie è finito 2 n Φ (n) = 2 i i n rete comintori u = F (i, i 2,, i n ) u m =F m (i, i 2,, i n ) 4 funzioni di vriile, 6 funzioni di 2 vriili, 256 funzioni di 3 vriili, funzioni di 4 vriili, ecc 2 n righe Telle dell verità Tell dell verità - Descrizione tellre di un funzione di vriili inrie n+ colonne x x 2 x n F(x, x 2,, x n ) Funzioni incomplete Funzione incomplet o non completmente specifict Il dominio è un sottoinsieme di B n Esempio: BCD 7 segmenti x f f 3 f f 2 x x f Funzioni di un e di due vriili f 5 4 funzioni di un vriile f 3 f 5 f 2 f f, f 5 : costnti e f 3, f 5 : identità o uffer f 2, f : not f f 4 f 7 f 8 f, f 3 : costnti e f : identità o uffer f 2 : not f 9 f 6 f : nd f 4 : nnd f 7 : or f 8 : nor f 9 : equivlence f 6 : ex-or funzioni complementri f 3 f 2 f f 4 6 funzioni di due vriili f 3 : x = implic x = f : x = implic x = f 2 : complemento di f 3 f 4 : complemento di f Porte logiche Strutture e comportmenti elementri (3) Strutture e comportmenti elementri (4) Il gte or Il gte nd Conttti in prllelo I I2 AB perto perto perto Conttti in serie I I2 AB A I B perto chiuso chiuso perto perto perto chiuso perto chiuso perto chiuso perto A B chiuso chiuso chiuso Gte o port chiuso perto logic perto - Struttur formt I2 d uno o chiuso chiuso chiuso I I2 più interruttori disposti Buffer,Not, in serie/prllelo I comndi And, di zionmento Or, Nnd, Nor, provengono Ex-or, Ex-nor dll esterno Il gte nor e le Il not loro elettronico denominzioni possono essere scmite senz che si modifichi l relzione di cus/effetto x I L z x 2 + E + E +E volt V u V u oppure V i V volt u NB Gli interruttori V V 2 V u V in prllelo possono L L H volt V + E essere più di due oppure i L H L V2 + E H L L +E volt H H L 3 3

4 Dulità tr nd e or () Logic positiv Dulità tr nd e or (2) Logic positiv I I2 AB I I2 AB I I2 AB I I2 AB Il gte nd Il gte or Il gte or Il gte nd Due differenti strzioni! {perto =, chiuso = } {perto =, chiuso = } Due differenti strzioni! {perto =, chiuso = } {perto =, chiuso = } A I Conttti in serie I2 B I I2 AB perto perto perto perto chiuso perto chiuso perto perto chiuso chiuso chiuso Conttti in prllelo A I I2 B I I2 AB perto perto perto perto chiuso chiuso chiuso perto chiuso chiuso chiuso chiuso Dulità tr ex-or e ex-nor (3) Logic positiv I I2 AB {lto =, sso = } {lto =, sso = } I I2 AB {perto =, chiuso = } {perto =, chiuso = } Operzioni logiche devitore D devitore D2 D D2 AB lto lto perto sso lto chiuso lto sso chiuso sso sso perto 3 4

5 Funzioni e operzioni F = F è descritt d * opertore Operzioni un operndo Operzioni due operndi Identità : z = x Regole: Funzione: x z Relizzzione: = = x z F(x) = *(x) F(x) = (x)* Esempi: rdice logritmo potenz derivt modulo Operzioni logiche F(x,y) = *(x,y) F(x,y) = x* y Esempi: ddizione sottrzione moltipliczione divisione Min, Mx Complementzione : x, x, x Regole: Funzione: x z Relizzzione: = = x z = : il complemento di vle Somm logic: x + y, x y + = + = x + = z + = y Somm modulo due: x y = = x = z = y Prodotto logico: x y, xy, x y = = x = z = y Equivlenz: x y = = x = z = y 3 5

6 Nnd (operzione di Shffer): z = x y Operzioni e Espressioni = = x = z = y f (x) = x f 2 (x) = x f 7 (x,y) = x + y f 8 (x,y) = x y f (x,y) = x y f 4 (x,y) = x y f 6 (x,y) = x y f 9 (x,y) = x y Nor (operzione di Pierce): z = x y = = x = z = z Espressione logic - String formt d costnti, it, opertori logici e prentesi Esempi: (x y) (z w) + (c) (x y) Vlutzione di un espressione Vlutzione di un espressione di n vriili per un n-pl di vlori - Si sostituisce d ogni vriile il vlore che le compete 2 - Prtendo dlle prentesi più interne si sostituisce ogni operzione con il suo risultto fino d ottenere o l costnte o l costnte Esempio: E(,,c) = +(c) per =, =, c= = +() = + = N di vlutzioni - Un espressione di n vriili può essere vlutt in 2 n modi diversi Espressioni e Funzioni Le 2 n vlutzioni di un espressione E(x, x 2,, x n ) creno 2 n coppie x, z {x, z x B n, z B} Esempio: E(,,c) = +(c) c E E(,,) = +() = E(,,) = +() = E(,,) = +() = E(,,) = +() = E(,,) = +() = E(,,) = +() = E(,,) = +() = E(,,) = +() = T) Ogni espressione descrive un e un sol funzione complet 3 6

7 Espressioni e Schemi logici T2) Ogni espressione descrive un struttur formt d gte connessi in serie e/o in prllelo Per individure lo schem descritto d un espressione: - si prte dlle prentesi più interne e si trcci il simolo del gte corrispondente ll operzione, collegndone gli ingressi i segnli esterni; 2 - si procede in modo nlogo con le ltre coppie di prentesi, considerndo vi vi come ingressi dei nuovi gte nche le uscite di quelli già trcciti +(c) Esempi c strzione m i i(t +Δt) = I(t) Δt I I = f(m,,i) = m + i ((() + ) c) c Alim m i NB - Lo schem logico di un espressione non può vere segnli in retrozione (l uscit di ogni gte dipende d segnli d ingresso e/o d uscite di gte disposti monte ) I 3 7

8 Funzioni di n vriili F Equivlenz tr espressioni Espressioni equivlenti - Due espressioni E, E 2 sono equivlenti, e si scrive E = E 2, se e solo se descrivono l stess funzione Espressioni di F Espressioni di n vriili Metodi per dimostrre l equivlenz: induzione perfett mnipolzione lgeric Proprietà T3) proprietà commuttiv (+,,,,, ) * = * T4) proprietà ssocitiv (+,, ) ( * ) * c = * ( * c) = * * c T5) complementi: (x + y) = x y (x y) = x y NB il pllino! (x y) = x y Insiemi di gte () Insieme AND, OR, NOT - Disponendo opportunmente in serie/prllelo soltnto questi tre tipi di gte è possiile ottenere il comportmento di tutti gli ltri z = ( ) = z = ( ) = z = + = i i 2 inftti: ( ) z = ( + ) = z = + = ( ) Insiemi di gte (2) Insieme EX-OR, AND - Disponendo opportunmente in serie/prllelo soltnto questi due tipi di gte è possiile ottenere il comportmento di tutti gli ltri z = = inftti z = (() ( )) = + 3 8

9 Insiemi di gte (3) NAND - Disponendo opportunmente in serie/prllelo solo questo tipo di gte è possiile ottenere il comportmento di tutti gli ltri z = = z = (( ) ) = Clcolo delle proposizioni Assegnt un qulsisi funzione di vriili inrie, è possiile descriverl con un espressione contenente solo le operzioni eseguite di gte? Proposizione -Frse o ver o fls, formt d ffermzioni o vere o flse unite di connettivi o, e, non z = = + Dimostrzione per induzione perfett + Si l proposizione il it vle L frse F(x,y) vle se o x vle o y vle descrive l funzione or è equivlente ll proposizione o x o y (ver per,, e fls per ) è equivlente ll espressione x + y vero flso e o + non x x f 3 Sintesi di un delle impliczioni x x x x (x x ) non (x e non x ) non x o x x + x se e solo se x = e x = f 3 = x x non se e solo se x = e x = se e solo se o x = o x = Sintesi di un SELETTORE due vie A I I U I I A o non A e I oppure A e I A I + A I U 3 9

10 Algere inrie Alger inri - Sistem mtemtico formto d un insieme di opertori definiti ssiomticmente ed tti descrivere con un espressione ogni funzione di vriili inrie Clcolo delle proposizioni Crisippo (25 c) {vero, flso} {e, o, non} G Boole (854) tre opertori Alger di commutzione {, }{+,, } tre opertori C Shnnon (938) Alger del nnd {, }{ } un opertore Alger del nor {, }{ } un opertore Alger linere {, }{, } due opertori 3