Appunti di Matematica 4 - Triangoli qualsiasi - Triangoli qualsiasi

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1 Tringoli qulsisi Considerimo un tringolo qulsisi ABC e dottimo l seguente notzione: nel vertice A l ngolo è α, nel vertice B β, nel vertice C γ e indichimo con il lto opposto d A, con b quello opposto B e con c quello opposto C. Risolvere un tringolo signific determinre, dll conoscenz di lcuni elementi, tutti gli ltri elementi (lti, ngoli). Ricordimo che, grzie i criteri di congruenz dei tringoli, un tringolo è determinto se si ssegnno: ) due lti e l ngolo compreso; ) un lto e due ngoli; 3) i tre lti (purché nturlmente si rispettt l relzione che < b + c e > differenz degli ltri due ) Inftti in ognuno di questi csi è possibile costruire, con rig, compsso e goniometro, un unico tringolo. Dimostrimo due teoremi utili per l risoluzione dei tringoli qulsisi. 98

2 Teorem dei seni In un tringolo qulsisi ABC si h: b c senγ Dimostrzione Considerimo l ltezz CH: possimo clcolrl in due modi CH b (nel tringolo AHC ) CH (nel tringolo CHB ) b e quindi b Anlogmente trccindo l ltezz BK BK BK c c senγ senγ e quindi c senγ Quindi vremo che b c senγ Not: osservimo che questo teorem vle nche per un tringolo rettngolo. Inftti se per b c esempio α bbimo sen α e senγ 99

3 Osservzione: possimo clcolre qunto vle questo rpporto tr un lto e il seno dell ngolo opposto? Considerimo l circonferenz circoscritt l tringolo: i lti, b, c possono essere considerti corde di quest circonferenz e gli ngoli α, β, γ ngoli ll circonferenz che insistono su queste. Avevmo dimostrto che: lunghezz cord dimetro seno (ngolo ll circonferenz che insiste sull cord) e quindi r R b b r R c c r senγ R senγ Quindi non solo bbimo dimostrto che il rpporto tr un lto e il seno dell ngolo opposto è sempre lo stesso, per un dto tringolo, m nche che è ugule l dimetro dell circonferenz circoscritt l tringolo. 00

4 In un tringolo qulsisi Teorem del coseno (teorem di Pitgor generlizzto) ABC vle, per ciscun lto, l seguente relzione: b + c b c cosα cioè il qudrto di un lto è ugule ll somm dei qudrti degli ltri due lti diminuit del doppio prodotto tr questi e il coseno dell ngolo compreso. Dimostrzione Considerimo l ltezz CH e il tringolo rettngolo vremo CH b AH b cosα HB c b cosα Applicndo il teorem di Pitgor l tringolo ACH : CHB bbimo: e quindi: CH + HB b sen α + b sen α + c b ( c bcosα ) b c cosα + b cos ( sen α + cos α ) + c b c cosα b + c b c cosα α Se l ngolo α fosse ottuso vremo: CH b sen( α ) b AH ( α ) cosα b cos b M poiché HB AH + AB c b cosα e quindi si ritrovno i clcoli precedenti. Not: se α il teorem si riduce l teorem di Pitgor. 0

5 Riprendimo l risoluzione di un tringolo. Risoluzione di un tringolo qulsisi ) Supponimo di conoscere due lti, per esempio e b, e l ngolo compreso γ. Trovimo c con il teorem del coseno: c + b b cosγ c... Trovimo α con il teorem dei seni: c... α... senγ Nturlmente β ( α + γ ) Esempio: 0 b 6 γ 45 c c 7,5 6 7,5 0,59 β 36, 4 senγ α Di conseguenz 80 ( ,4 ) 98, 6 0

6 NOTA Qundo usimo l clcoltrice per trovre qule ngolo h un dto seno o un dto coseno (usndo il tsto sin o cos ) dobbimo spere che, per definizione, sin dà come risultti ngoli tr e (-90 e 90 ) e cos dà come risultti ngoli tr 0 e (0 80 ) Per esempio se digitimo sin 0.5 ottenimo solo come risultto 30 ed invece sppimo che nche h lo stesso seno (oltre tutti gli ngoli ottenuti con ggiungendo k ). Così se per esempio nel risolvere un tringolo utilizzndo il teorem dei seni trovimo sen α 0. 5 l clcoltrice ci drà solo α 30 m non è detto che questo si il cso dell ngolo del nostro tringolo. Ricordimo inftti che in un tringolo con lti disuguli lto mggiore st opposto ngolo mggiore. Riprendimo per esempio il cso del tringolo dell esempio precedente: risolvendo sen β l clcoltrice h fornito β Prendimo questo vlore (e non ) perché β dovrà essere minore di γ 45 in qunto b<c. M se noi vessimo pplicto il teorem dei seni per determinre α vremmo vuto: 0 7,5 0,999 sen45 e l clcoltrice vrebbe fornito come ngolo α 8, 4 che ci vrebbe poi portto β ,4 53, 6 impossibile perché mggiore di 45. ( ) Quindi in questo cso 8,4 non è il nostro ngolo m dobbimo prendere α 80 8,4 98, 6 che inftti ci riport β 80 ( ,6 ) 36, 4. 03

7 ) Supponimo di conoscere un lto, per esempio, e due ngoli, per esempio β e γ. Trovimo b con il teorem dei seni: b * sen ( β + γ ) sen β + γ cos γ + cos β sen b... Anlogmente trovimo c. α β + γ. Nturlmente ( ) Esempio: 0 β 45 γ 30 ( ) ( ) γ b 0 b b ,33 * sen( ( β + γ )) sen( β + γ ) cos γ + cos β senγ b c c 5, senγ α Nturlmente 80 ( ) 05 04

8 3) Supponimo di conoscere i tre lti, b, c ( ognuno minore dell somm degli ltri due e mggiore dell differenz). Possimo pplicre il teorem del coseno per trovre un ngolo, per esempioα : A questo punto pplichimo il teorem dei seni: Infine γ ( α + β ) Esempio: 0 b 8 c 5 b + c bc cosα cosα... α... b... β cosα cosα 0,4 α ,79 β 5,4 sen98 γ Nturlmente 80 ( 5, ) 9, 6 05

9 Problem Se conoscimo due lti, per esempio e b, e l ngolo opposto d uno di essi, per esempio α, possimo individure il tringolo? Provimo disegnre il lto b e l ngolo α considerndo per esempio b0 α 45 Per trccire il lto possimo puntre il compsso in C con pertur : ci srnno quindi vri csi: l circonferenz non intersec l semirett r in figur e quindi non si ottiene nessun tringolo l circonferenz è tngente ll semirett e quindi si trov un tringolo rettngolo β l circonferenz è secnte con l semirett e quindi ci sono tringoli l circonferenz tgli in un punto soltnto l semirett (e intersec in un ltro punto il suo prolungmento) e quindi trovo tringolo Per esempio: 06

10 Inftti pplicndo il teorem dei seni ho: b b Se sen β > cioè b > non si trov nessun β. Se sen β β e b ( tringolo rettngolo). Se β < β, β γ α + sen m occorre clcolre nche ( ) e γ ( α + ) β. β Se γ o γ viene negtivo non si può ccettre e quindi in questo cso possono venire due tringoli (se b < < b ) oppure tringolo (se b ). Inftti: ) b0 6 α nessun tringolo,8 > ) b0 5 α β ho tringolo rettngolo 3) b0 8 α β 6 β 7,5 ci sono tringoli ( 0,886) 4) b0 α β cc ( 0,59) β 36, ( 43 non...) ho tringolo 07

11 Appliczioni dell risoluzione di un tringolo qulsisi L risoluzione di un tringolo di cui si conoscono solo lcuni elementi è importnte per l topogrfi. ) Supponimo per esempio di voler determinre l distnz tr due punti A, B seprti d un ostcolo m entrmbi ccessibili. Posso prendere un 3 punto C, misurre AC, BC e l ngolo γ. Quindi conosco, del tringolo AB C, lti e l ngolo compreso. Posso determinre AB c. ) Supponimo di voler determinre l distnz tr due punti A, B seprti d un ostcolo e di cui solo un punto si ccessibile (B). Posso fissre un terzo punto C, misurre BC e gli ngoli β e γ. Quindi conosco, nel tringolo risolvere e posso determinre AB. AB C, un lto e i due ngoli dicenti. Il tringolo si può 08

12 Esercizi Risolvi e costruisci con rig, compsso e goniometro i seguenti tringoli: [ c 5 α 6,9 β 3, ) 8 b 4 γ 30 ) 8 β 60 γ 45 [ b 7, c 5,9 α 75 [ α 9,9 β 85,5 γ 64, 6 3) 5 b 0 c 9 4) 0 c 4 cos β 3 5) 0 c 4 cos β 3 6) 0 4 cosα 5 γ 30 [ b 9,45 α 86, γ 3, 4 [ β 09,5 b,9 α 5, 4 b [ 6,5 c 5,4 [ c 7 α 8,3 β 38, 7 7) 8 b 5 γ 60 8) 5 β 45 γ 30 [ b 3,7 c,6 α 05 [ α 5,4 β 98 γ 9, 6 9) 8 b 0 c 5 [ c 6 α 56,4 β 93, 6 0) 0 b γ 30 Risolvi i seguenti problemi: ) Due punti A e B sono seprti d un ostcolo m sono entrmbi ccessibili. Fissto un terzo Λ punto C si h AC 48metri, BC 40 metri e sen ACB. Determin A B. 3 [ AB 3, 3 metri ) Due punti A e B sono seprti d un ostcolo m solo B è ccessibile. Fissto un terzo punto C Λ 3 Λ si h BC 00 metri, sen ABC e cos ACB. Determin AB. 4 3 [ AB 08 metri 09

13 3) Si può costruire un tringolo con b0, α 60 e 8? [no 4) Fissti b0 e α 60 qul è il minimo vlore di per cui si può costruire un tringolo? Come risult il tringolo? [ 5 3 5) Risolvi il tringolo con b0 α 60, 9. c c 7,5,5 β 74 β 06 γ 46 γ 4 6) Risolvi il tringolo con b0, 0. [tringolo equiltero c0, β γ 60 7) Risolvi il tringolo con b 0 α 60 e disegnlo. [ c 3,3 β 46 γ 74 8) Un torre AB si trov su un pendio: determin AB spendo che AC0m, γ 30, δ 45. [ AB 9, 3m 9) Due punti A e B si trovno sulle rive opposte di un fiume. Prendendo un punto C dll prte B si misur BC 50 m tgβ 4 tgγ. Determin AB senz usre l clcoltrice AB

14 ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE Sched ) In un tringolo si h 0 4 tg β 3 cos γ 7 5. Determin i lti b e c senz utilizzre l clcoltrice. Come risult il tringolo? Disegnlo e con l clcoltrice determin il vlore pprossimto degli ngoli. Determin inoltre il rggio R dell circonferenz circoscritt e il rggio r dell circonferenz inscritt. [ b 0 ; c ; α β 53, 3 ; γ 73, 74 ; 5 R ; r 3 4 ) Spendo che 5 3, b 5, β il tringolo è univocmente determinto? Risolvi e 6 disegn. [ c 0 α γ ; c 5 α 3 γ 3 6 3) Determin l distnz AB tr due punti entrmbi ccessibili spendo che, preso un terzo 3 punto C, BC 50m, AC 30m, tg ACB. 4 [ AB 3, 6m 4) Risolvi il tringolo vente 8 b 5 c 0 e disegnlo. [ α 5, 44, β 9, 7, γ 97, 86 5) Come potresti misurre l ltezz di un torre AB nel cso in cui l bse A dell torre non si poss rggiungere (si dice bse inccessibile) m si trovi comunque su un terreno pinegginte? (suggerimento: fiss un segmento CD sul pino orizzontle dove si trov l bse A dell torre e trgurd di suoi estremi l cim dell torre.). 6) Dimostr che l re di un qudriltero si può clcolre con l seguente formul S d d dove d e d sono l lunghezz delle digonli e α è uno degli ngoli formti dlle digonli (è indifferente qule ngolo si consideri).

15 ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE Sched I) Risolvi le seguenti disequzioni goniometriche. cos x 3cos x + 0. tg x senx 3 cos x < 3 + k x + k k x + k, x + k k < x < + k 3 tg x 4. > 0 3senx cos x k < x < + k U + k < x < + k U + k < x < + k, x + k sen x + cos x senx > [ + k < x < + k 3 II) Problemi ) Due loclità A e B sono seprte d un ostcolo m entrmbe sono ccessibili: si fiss un punto C e si misur AC 50m, BC 70m, cos ACB. Determin AB. [ AB 6, 5m ) Due loclità A e B sono seprte d un torrente. Se prendimo un posizione C dll prte di B e misurimo BC Km, CBA, tg ACB, determin AB. 3 [ AB, 96 km 3) Determin e disegn il tringolo (o i tringoli) venti, usndo le consuete convenzioni, 6, b 5, α. 3 β 46,, γ 73,8, c 6,65 [