Compitino di algebra lineare e geometria del 30 Novembre 2007 VERSIONE A

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1 Compiino di lgebr linere e geomeri del Novembre 7 VERSIONE A Nome e cognome: Oo Perseien Numero di Mricol: 48 Aenzione: riporre i di personli su ogni foglio consegno Esercizio. Si A = Sudire il sisem linere AX = b, l vrire del ermine noo b R? (specificre?), cioè:. Deerminre dimensione, bsi ed equzioni Cresine dello spzio delle soluzioni del sisem linere omogeneo AX = (vle dire, del nucleo ker(l A ), ove L A è l ppliczione linere ssoci).. Deerminre dimensione, bsi ed equzioni Cresine dello spzio dei b R? per i quli il sisem è risolubile (vle dire, del soospzio immgine im(l A ) dell ppliczione linere L A ).. Al vrire del ermine noo b, si deermini lo spzio delle soluzioni (vle dire, l immgine invers L A (b) di b). In pricolre, nei csi in queso è non vuoo, lo si esprim esplicimene come un soospzio ffine di R?? (specificre!), vle dire come rslo v + W di un cero soospzio veorile W di R?? (descrivendo quindi esplicimene v e W ). Soluzione. A è un mrice 4, quindi definisce un ppliczione linere L A : R 4 R, X AX. Perno, b R e X R 4 risolve il sisem se e solo se X L A (b) (conroimmgine). L immgine di L A è lo spn delle colonne di A, quindi L A (b) se e solo se b è linermene dipendene dlle colonne di A. Considerimo llor l

2 mrice eses (A b) e fccimo operzioni per righe, scrivendo b = (, b, c ). Ricvimo: b + b c c + b b + c / ( + b)/ b + c / ( + b)/ / ( + b)/ b + c sono Vedimo quindi che equzioni cresine per } im(l A ) = {AX : X R 4 = { b R : L A (b) } b + c =. Inolre, do che vi sono due grdini nell riduzione scl di A, dim im(l A ) = rngo(a) = ; d l posizione dei grdini nell riduzione scl, un bse per im(l A ) è forni dlle prime due colonne di A: B = Abbimo risposo ll second domnd. Quno ll prim, osservimo che lo spzio delle soluzioni del sisem omogeneo nurlmene non è lro che il nucleo ker(l A ) = ker(a). Per il Teorem del rngo, dim ker(l A ) = 4 rngo(a) = 4 =. Ponendo = b = c = vedimo che ker(l A ) = L A () è lo spzio delle soluzioni del sisem linere di equzioni in 4 incognie con mrice eses ( / / ).

3 Quindi equzioni Cresine per ker(l A ) sono Ne ricvimo: ker(l A ) = = x + z =, y z + =. z z z z = spn = spn : z, K + : z, K che fornisce un bse per il nucleo. Quno ll erz domnd, se b = (, b, c) con b + c llor L A (b) =, lrimeni deo il sisem linere non omogeneo AX = b non è compibile. Se invece b + c = il sisem è compibile, e L A (b) è nche lo spzio delle soluzioni del sisem linere con mrice eses: ( ) / ( + b)/ /. ( + b)/

4 Quindi per b + c = bbimo L A (b) = z + +b z b z : z, R +b = b + z + +b = b + spn, = +b b + ker(l A), : z, R che è nell form soluzione pricolre del sisem non omgeneo + soluzione generle del sisem omogeneo, ovvero rslo del nucleo. Come verific, soo l ipoesi che b + c =. Esercizio. +b b = = +b + b +b b b b b = Si di l definizione di ppliczione linere r spzi veorili su un cmpo K. D un ppliczione linere f : V W, dre l definizione di nucleo (ker) e di soospzio immgine. Si dimosri esplicimene che il nucleo è effeivmene un soospzio veorile di? (specificre chi è?). 4 b c

5 Supposo dim(v ) < +, si enunci l relzione che leg dim ker(f) e dim im(f). Si dimosri l relzione precedene. Esercizio. Si R un prmero e sino l, l, Π R definii d: + + l =: + : R, l =: + : R, x Π =: y : x + y z =. z. Si deermini un rppresenzione prmeric per Π.. Sbilire per quli vlori di l e l sono prllele o perpendicolri.. Sbilire per quli vlori di l è prllel Π o perpendicolre Π. 4. Per =, sbilire se l e l sono sghembe (disgiune) o incideni. 5. Per =, rovre l disnz r l e l origine R. Soluzione. Abbimo, risolvendo per x: y + z + Π = y : y, z R z = + y + z : y, z R = + spn. L ulim relzione esprime Π come rslo di un soospzio veorile Π (un pino per l origine). Abbimo risposo ll prim domnd. Abbimo, chirmene: l = + spn, l = 5 + spn.

6 Do che i veori due componeni ( ), ( sono linermene indipendeni, li sono foriori e Quindi, l e l non sono mi prllele. Inolre l e l sono perpendicolri se li sono i rispeivi veori direzione, ovvero se e solo se Prendendo il prodoo sclre sndrd, vedimo che l e l sono perpendicolri se e solo se = + = 5 =, ovvero se e solo se = 5/. Trslndo si l che Π nell origine (il che non cmbi l relzione di prllelismo), vedimo che l è prllel Π se e solo se l re per l origine gener d (,, ) è prllel Π, quindi conenu in Π, ovvero se e solo se (,, ) Π. Or Π h equzione Cresin x y + z =, quindi concludimo che l è prllel Π se e solo se = + = 6 + = 5 +, ovvero se e solo se = 5/. Abbimo evidenemene x Π = y : x y + z = z x x = y : y = z z = spn 6 )

7 d cui Π = spn. Perno, l è perpendicolre Π se e solo se (,, ) è perpendicolre Π, quindi se e solo se (,, ) è muliplo sclre di (,, ), cioè mi. Ponimo = ; l prmerizzzione di l diviene quell per l è X() = Y (s) = s + s s Per deerminre evenuli puni di incidenz, cerchimo vlori dei prmeri, s li per cui X() = Y (s). Quindi deve essere + + s + = + s s il che equivle l sisem linere s = s = +s =.. Fcendo operzioni per righe sull mrice eses, 5 4 /5 ; 9/5 4 /5 do che l mrice eses h rngo re, menre l mrice dei coefficieni h rngo due, il sisem non è compibile. Ciò signific l ssenz di puni di incidenz, cioè che le ree sono sghembe. 7

8 Per rovre l disnz r l e l origine, cerchimo l unico vlore del prmero le per cui X( ) L disnz cerc è llor dis ( l, ) = X( ) = X( ). Abbimo + + = ( + ) + ( + ) + = = + 5. Quindi = 5/ e X( ) = X ( 5/) = 5/ 5/ 5/ = 7/ 4/ 5/ L disnz cerc è llor 7/ X ( 5/) = 4/ 5/ = = = =. Domnd exr: Per =, rovre l disnz r le due ree. Soluzione. L disnz cerc è, per definizione, dis ( l, l ) =: inf { P Q : P l, q l }. Di fo, le inf è in relà un min. Più precismene, do che l e l non sono prllele, esisono e sono unici P l e Q l li che il veore pplico che li congiunge è perpendicolre enrmbe le ree. Alrimeni deo, esisono e sono unici, s R per cui si h X( ) Y (s ) X( ) Y (s ) 8

9 L disnz cerc è llor dis ( l, l ) = X( ) Y (s ). Deerminimo e s. Per ogni, s R si h + + s X() Y (s) = + + s s Quindi, X() Y (s), = s + s + + s + = s + s + + s + = ( s + ) + ( s + ) + ( + s + ) = s + 9, X() Y (s), = s + s + + s + = ( s + ) + ( s + ) ( + s + ) = 9 s. Oenimo così il sisem linere non omogeneo: { s = 9 9s =. L soluzione esise ed è unic: = 9/, s = /. Or X ( 9/ ) Y ( / ) 9/ + 6/ + = 7/ + / + 9/ 6/ + 7/ = 4/ = 7 4 5/ 5 perno l disnz r le due ree è dis ( ) 7 l, l = 4 5 = = =. Esercizio 4. 9

10 Si di l definizione di soospzio veorile di uno spzio veorile. Si V uno spzio veorile sul cmpo K e sino U, W V soospzi veorili; si definiscno i soospzi somm e inersezione. Si dimosri esplicimene che lo spzio somm è effeivmene un soospzio veorile di V. Supponendo dim(u), dim(w ) < +, si enunci l relzione che inercorre r dim(u), dim(w ), dim(u + W ), dim(u W ). Si dimosri l relzione di cui sopr.